- •События, их виды и действия с ними. Алгебра событий. Аксиоматическое определение вероятности.
- •Аксиоматическое определение вероятности
- •Классическое и статистическое определения вероятности. Свойства вероятности. Классическое определение вероятности.
- •Свойства вероятности.
- •Относительная частота. Статистическое определение вероятности.
- •Теоремы сложения вероятностей. Теорема сложения вероятностей.
- •4. Независимость событий. Условные вероятности. Теоремы об умножениях вероятностей зависимых и независимых событий. Условная вероятность
- •Независимость событий
- •Теоремы умножения вероятностей.
- •5. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Формула полной вероятности.
- •6. Схема и формула Бернулли.
- •7. Понятия случайной величины.
- •Функция распределения
- •Свойства функции распределения:
- •Числовые характеристики дискретной случайной величины.
- •Свойства математического ожидания:
- •Свойства дисперсии:
- •8. Математическое ожидание св и его свойства.
- •Дисперсия и ее свойства. Стандартное отклонение.
- •Свойства дисперсии:
- •10. Биномиальное распределение. Формула Бернулли. Распределение Пуассона. Биномиальное распределение
- •Распределение Пуассона
- •11. Непрерывная случайная величина
- •Свойства функции распределения:
- •Плотность распределения вероятностей и ее свойства.
- •Свойства плотности распределения вероятностей:
- •13. Равномерный закон распределения
- •Понятие многомерной (векторной) св и ее закон, функция и плотность распределения. Условные математические ожидания и дисперсии. Многомерные случайные величины
- •Зависимые св. Ковариация и коэффициент корреляции. Корреляционная матрица случайного вектора. Независимые случайные величины
- •Свойства независимых случайных величин
- •Ковариация
- •Линейный коэффициент корреляции
- •Нормальное распределение.
- •Центральная предельная теорема
- •Нормальное распределение(не википед)
- •18. Вероятность попадания св в заданный интервал .Вероятность заданного отклонения нормальной св.Правило 3 сигм.
- •Отметим ряд свойств функции Лапласа, полезных для применения.
- •19. Теоремы Муавра-Лапласа
- •Понятие о центральной предельной теореме Ляпунова и ее применение.
- •Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности.
- •Статистическое распределение. Эмпирическая функция распределения и ее свойства.
- •Полигон и гистограмма.
- •Генеральная и выборочная средние, их свойства. Оценка генеральной средней по выборочной.
- •Генеральная и выборочная дисперсии, их свойства. Оценка генеральной дисперсии по выборочной. Исправленная дисперсия.
- •Линейная регрессия. Метод наименьших квадратов.
6. Схема и формула Бернулли.
ПОВТОРЕНИЕ НЕЗАВИСИМЫХ ОПЫТОВ. Несколько опытов называются независимыми, если вероятность исхода опыта не зависит от того, какие исходы имели другие опыты. Рассмотрим случай, когда вероятности исходов опытов постоянны и не зависят от номера опыта.
При проведении п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0<р<1), вероятность наступления этого события ровно k раз описывается формулой Бернулли
.
т.е. в результате каждого опыта событие A появляется с вероятностью р и не появляется с вероятностью q=1-p.
Кроме того, вероятность наступления события не менее k1 раз и не более k2 раз ( ) равна
Следствия из формулы Бернулли.:
1.Вероятность того, что событие А наступит менее k раз
(4.2)
2.Вероятность того, что событие наступит более k раз
(4.3)
3.Вероятность того, что в n опытах схемы Бернулли, событие А появится от k1 до k2 раз
. (4.4)
4.Вероятность того, что в n опытах событие А появится хотя бы один раз, определяется формулой
(4.5)
Число к0, которому соответствует максимальная биномиальная вероятность , называется наивероятнейшим числом появления события А. При заданных n и p это число определяется неравенствами: . (4.6)
Схема Бернулли
Под схемой Бернулли понимают конечную серию повторных независимых испытаний с двумя исходами. Вероятность появления (удачи) одного исхода при одном испытании обозначают , а непоявления (неудачи) его . Я. Бернулли установил, что вероятность ровно успехов в серии из повторных независимых испытаний вычисляется по следующей формуле:
То значение , при котором число является максимальным из множества { }, называется наивероятнейшим, и оно удовлетворяет условию
np - q m np+ p,
Формулу Бернулли можно обобщить на случай, когда при каждом испытании происходит одно и только одно из событий с вероятностью ( . Вероятность появления раз первого события и - второго и -го находится по формуле
При достаточно большой серии испытаний формула Бернулли становится трудно применимой, и в этих случаях используют приближенные формулы. Одну из них можно получить из предельной теоремы Пуассона:
Таблица значений функции имеется в приложении 3.
7. Понятия случайной величины.
Закон распределения дискретной случайной величины.
Определение: Случайной называется величина, которая в результате испытания принимает только одно значение из возможного множества своих значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин.
Различают два вида случайных величин: дискретные и непрерывные.
Определение: Случайная величина Х называется дискретной (прерывной), если множество ее значений конечное или бесконечное, но счетное.
Другими словами, возможные значения дискретной случайной величину можно перенумеровать.
Описать случайную величину можно с помощью ее закона распределения.
Определение: Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.
Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть задан в виде таблицы, в первой строке которой указаны в порядке возрастания все возможные значения случайной величины, а во второй строке соответствующие вероятности этих значений, т.е.
-
x
x1
x2
х3
…
хn
p
р1
р2
р3
...
рn
где р1+ р2+…+ рn=1
Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.
Если множество возможных значений случайной величины бесконечно, то ряд р1+ р2+…+ рn+… сходится и его сумма равна 1.
Закон распределения дискретной случайной величины Х можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят ломаную, соединяющую последовательно точки с координатами (xi;pi), i=1,2,…n. Полученную линию называют многоугольником распределения (рис.1).
рис.1
Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть также задан аналитически (в виде формулы):
P(X=xi)=φ(xi),i =1,2,3…n
Задача№1. Вероятности того, что студент сдаст экзамен в сессию по математическому анализу и органической химии соответственно равны 0,7 и 0,8. Составить закон распределения случайной величины Х- числа экзаменов, которые сдаст студент.
Решение. Рассматриваемая случайная величина X в результате экзамена может принять одно из следующих значений: x1=0, x2=1, х3=2.
Найдем вероятность этих значений. Обозначим события:
По условию:
Тогда:
Итак, закон распределения случайной величины Х задается таблицей:
x |
0 |
1 |
2 |
p |
0,6 |
0,38 |
0,56 |
Контроль:0,6+0,38+0,56=1.