Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Все вместе кроме 16 и 20.doc
Скачиваний:
17
Добавлен:
22.09.2019
Размер:
7.53 Mб
Скачать

6. Схема и формула Бернулли.

ПОВТОРЕНИЕ НЕЗАВИСИМЫХ ОПЫТОВ. Несколько опытов называются независимыми, если вероятность исхода опыта не зависит от того, какие исходы имели другие опыты. Рассмотрим случай, когда вероятности исходов опытов постоянны и не зависят от номера опыта.

При проведении п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0<р<1), вероятность наступления этого события ровно k раз описывается формулой Бернулли

.

т.е. в результате каждого опыта событие A появляется с вероятностью р и не появляется с вероятностью q=1-p.

Кроме того, вероятность наступления события не менее k1 раз и не более k2 раз ( ) равна

Следствия из формулы Бернулли.:

1.Вероятность того, что событие А наступит менее k раз

(4.2)

2.Вероятность того, что событие наступит более k раз

(4.3)

3.Вероятность того, что в n опытах схемы Бернулли, событие А появится от k1 до k2 раз

. (4.4)

4.Вероятность того, что в n опытах событие А появится хотя бы один раз, определяется формулой

(4.5)

Число к0, которому соответствует максимальная биномиальная вероятность  , называется наивероятнейшим числом появления события А. При заданных n и p это число определяется неравенствами:  . (4.6)

Схема Бернулли

Под схемой Бернулли понимают конечную серию   повторных независимых испытаний с двумя исходами. Вероятность появления (удачи) одного исхода при одном испытании обозначают  , а непоявления (неудачи) его  . Я. Бернулли установил, что вероятность ровно   успехов в серии из   повторных независимых испытаний вычисляется по следующей формуле:

То значение  , при котором число   является максимальным из множества { }, называется наивероятнейшим, и оно удовлетворяет условию

np - q   m  np+ p, 

Формулу Бернулли можно обобщить на случай, когда при каждом испытании происходит одно и только одно из   событий с вероятностью   (  . Вероятность появления   раз первого события и   - второго и  -го находится по формуле

При достаточно большой серии испытаний формула Бернулли становится трудно применимой, и в этих случаях используют приближенные формулы. Одну из них можно получить из предельной теоремы Пуассона:

Таблица значений функции  имеется в приложении 3.

7. Понятия случайной величины.

Закон распределения дискретной случайной величины.

Определение: Случайной называется величина, которая в результате испытания принимает только одно значение из возможного множества своих значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин.

Различают два вида случайных величин: дискретные и непрерывные.

Определение: Случайная величина Х называется дискретной (прерывной), если множество ее значений конечное или бесконечное, но счетное.

Другими словами, возможные значения дискретной случайной величину можно перенумеровать.

Описать случайную величину можно с помощью ее закона распределения.

Определение: Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть задан в виде таблицы, в первой строке которой указаны в порядке возрастания все возможные значения случайной величины, а во второй строке соответствующие вероятности этих значений, т.е.

x

x1

x2

х3

хn

p

р1

р2

р3

...

рn

где р1+ р2+…+ рn=1

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.

Если множество возможных значений случайной величины бесконечно, то ряд р1+ р2+…+ рn+… сходится и его сумма равна 1.

Закон распределения дискретной случайной величины Х можно изобразить графически, для чего в прямоугольной системе координат строят ломаную, соединяющую последовательно точки с координатами (xi;pi), i=1,2,…n. Полученную линию называют многоугольником распределения (рис.1).

рис.1

Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть также задан аналитически (в виде формулы):

P(X=xi)=φ(xi),i =1,2,3…n

Задача№1. Вероятности того, что студент сдаст экзамен в сессию по математическому анализу и органической химии соответственно равны 0,7 и 0,8. Составить закон распределения случайной величины Х- числа экзаменов, которые сдаст студент.

Решение. Рассматриваемая случайная величина X в результате экзамена может принять одно из следующих значений: x1=0, x2=1, х3=2.

Найдем вероятность этих значений. Обозначим события:

По условию:

Тогда:

Итак, закон распределения случайной величины Х задается таблицей:

x

0

1

2

p

0,6

0,38

0,56

Контроль:0,6+0,38+0,56=1.