Функция распределения

Полное описание случайной величины дает также функция распределения.

Определение: Функцией распределения дискретной случайной величины Х называется функция F(x), определяющая для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньше х:

F(x)=Р(Х<х)

Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная величина Х примет значение, которое изображается на числовой прямой точкой, лежащей левее точки х.

Свойства функции распределения:

1)0≤ F(x) ≤1;

2) F(x)- неубывающая функция на (-∞;+∞);

3) F(x)- непрерывна слева в точках х= x_i (i=1,2,…n) и непрерывна во всех остальных точках;

4) F(-∞)=Р (Х<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,

F(+∞)=Р(Х<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.

Если закон распределения дискретной случайной величины Х задан в виде таблицы:

x	x1	x2	х3	…	хn
p	р1	р2	р3	...	рn

то функция распределения F(x) определяется формулой:

0 при х≤ x_1,

р₁ при x₁< х≤ x_2,

F(x)= р₁ + р₂ при x₂< х≤ х₃

… … …

1 при х> х_n.

Её график изображен на рис.2:

рис.2

Числовые характеристики дискретной случайной величины.

К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание.

Определение: Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

_n

М(Х)=∑ x_iр_i= x₁р₁ + x₂р₂+…+ x_nр_n

ⁱ⁼¹

Математическое ожидание служит характеристикой среднего значения случайной величины.

Свойства математического ожидания:

1)M(C)=C, где С-постоянная величина;

2)М(С•Х)=С•М(Х),

3)М(Х±Y)=М(Х) ±M(Y);

4)M(X•Y)=M(X) •M(Y), где X,Y- независимые случайные величины;

5)M(X±C)=M(X)±C, где С-постоянная величина;

Для характеристики степени рассеивания возможных значений дискретной случайной величины вокруг ее среднего значения служит дисперсия.

Определение: Дисперсией D(X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X)=M(X-M(X))²

Свойства дисперсии:

1)D(C)=0, где С-постоянная величина;

2)D(X)>0, где Х- случайная величина;

3)D(C•X)=C²•D(X), где С-постоянная величина;

4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), где X,Y- независимые случайные величины;

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться формулой:

D(X)=M(X²)-(M(X))²,

_n

где М(Х)=∑ x_i²р_i= x₁²р₁ + x₂²р₂+…+ x_n²р_n

ⁱ⁼¹

Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния возможных значений случайной величины используют также величину √D(X).

Определение: Средним квадратическим отклонением σ(Х) случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:

Задача №2. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:

х	-1	0	1	2	3
р	0,1	Р2	0,3	0,2	0,3

Найти Р₂, функцию распределения F(x) и построить ее график, а также M(X),D(X), σ(Х).

Решение: Так как сумма вероятностей возможных значений случайной величины Х равна 1, то

Р₂=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1

Найдем функцию распределения F(х)=P(X<x).

Геометрически это равенство можно истолковать так: F(х) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Если х≤-1, то F(х)=0, т.к. на (-∞;х) нет ни одного значения данной случайной величины;

Если -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т.к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x₁=-1;

Если 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т.к. в промежуток

(-∞;х) попадают два значения x₁=-1 и x₂=0;

Если 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т.к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x₁=-1, x₂=0 и x₃=1;

Если 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т.к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x₁=-1, x₂=0,x₃=1 и х₄=2;

Если х>3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)+Р(Х=3)= 0,1+0,1+0,3+0,2+0,3=1, т.к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x₁=-1, x₂=0,x₃=1,х₄=2 и х₅=3.

Итак,

0 при х≤-1,

0,1 при -1<х≤0,

0,2 при 0<х≤1,

F(x)= 0,5 при 1<х≤2,

0,7 при 2<х≤3,

1 при х>3

Изобразим функцию F(x)графически (рис.3):

рис. 3

Найдем числовые характеристики случайной величины:

_n

М(Х)=∑ x_κр_κ =x₁р₁ + x₂р₂+…+ x_nр_n

κ=1

M(X)=-1•0,1+0•0,1+1•0,3+2•0,2+3•0,3=1,5

_n

D(X)= ∑ x²_κр_κ –(M(X))² = x²₁р₁ + x²₂р₂+…+ x²_nр_n –(M(X))²

κ=1

D(X)=(-1)² •0,1+1²•3+2²•0,2+3²•0,3-(1,5)²=1,65

^≈1,2845.