10. Построение булевой формулы по комбинационной схеме

При построении булевой формулы по разветвленной комбинационной схеме прямая запись этой формулы с учетом параллельных и последовательных соединений контактов может привести к громоздкому выражению, которое затем необходимо упростить. В некоторых случаях оказывается весьма эффективной описываемая ниже процедура, которая позволяет сразу получить более простое выражение. Более того, ее использование дает возможность написать булеву формулу и для таких комбинационных схем, которые не могут быть выражены через последовательное и параллельное соединение контактов (например, мостовых). В этом последнем случае прямое написание булевой формулы по схеме оказывается невозможным. Обратимся к совершенной дизъюнктивной нормальной форме представления булевой функции. Для булевой функции п переменных f(x1,x2,...xn) имеет вид логической суммы f(x1, х2,..., хn) = с1\/с2 \/...\/сk, где число слагаемых равно числу строк таблицы истинности, в которых f=1. Каждое слагаемое представляет собой логическое произведение, содержащее ровно п сомножителей, т.е. всех переменных, записанных либо без черты, либо с чертой Отсюда следует, что в каждом слагаемом обязательно имеется либо х1, либо нех1 и нет ни одного слагаемого, где присутствуют либо отсутствуют одновременно обе эти величины. Применяя коммутативный закон, перенесем все слагаемые, в которые входит x1 (без черты), в начало формулы, а слагаемые, в которые входит нех1 (с чертой) - в ее оставшуюся часть: f(x1,x2,...,xn) = (x1/\неx2/\..../\xn)\/...\/(x1/\неx2/\..../\неxn)\/...\/(неx1/\неx2/\..../\неxn)V...V \/(неx1/\неx2/\..../\неxn). Здесь, как и ранее, через нех1, обозначено либо х1, либо неx1. Применяя дистрибутивный закон, последнюю формулу можно записать как f(x1,x2,...,xn)=x1/\f1(x2,..,xn)\/неx1/\f2(x2,...xn). (3.10) Здесь логические функции f1 и f2 не зависят ни от x1, ни от нех1i. Они просто могут' быть найдены из формулы (3.10). Действительно, полагая X1 = 1, обращаем в нуль ее второе слагаемое и имеем f1(x2,...,xn)=f(1,x2,...,xn).(3.11) Аналогично, полагая x1=0, получим f2(x2,....xn)=f(0,x2,...,xn). (3.11) Соотношения (3.10) - (3.12) могут быть использованы как при упрощении булевых формул, так и, особенно, при написании булевых формуя, соответствующих заданной комбинационной схеме. Очевидно, что они могут применяться многократно к разным переменным.

=====================================================================================

11. Упрощение булевых формул

Для упрощения булевых формул используются рассмотренные выше законы и тождества булевой алгебры. Их успешное применение зависит от навыка и искусства обращения с ними, что достигается после приобретения некоторого опыта в подобных преобразованиях. Однако существуют некоторме стандартные приемы, которые во многих случаях позволяют успешно проводить упрощение сложной формулы. Упрощение булевых формул следует начинать с отыскания одной из следующих форм: f/\неg\/f/\g, (f\/неg)/\(f\/g); f\/f/\g,, f/\(f\/g); f\/неf/\g, f/\(неf V g) .

где f и g означают или сами логические переменные или некоторые булевы функции нескольких переменных. Каждое из указанкых выражений можно записать в более простом виде: f/\неg\/f/\g=f, (f\/неg)/\(f\/g)=f (закон склеивания),(3.13) f\/f/\g =f, f/\(f\/g) =f (закон поглощения),(3.14) f\/неf/\g=f\/g, f/\(неf\/g)=f/\g (тождества 7би7а п.3.9). (3.15) Это, соответственно, приводит к упрощению всей исходной булевой формулы. При упрощении логических формул всегда следует иметь в виду тождество идемпотентности f\/f=f, из которого следует, что каждое из слагаемых можно использовать в комбинациях с другими слагаемыми неоднократно. Слагаемое называется лишним, если на любом из наборов переменных, на котором оно обращается в единицу, в единицу же обращается какая-либо группа других слагаемых. Из всех форм, не содержащих лишних слагаемых, методом полного перебора отыскивается простейшая. Таких форм может быть несколько.

======================================================================================