46. Транспортные сети. Основные понятия.

Транспортной сетью называется конечный граф без петель, у которого:

1) существует одна и только одна такая вершина Хо, что Г-1xo = Æ (эта вершина называется входом сети);

2) существует одна и только одна такая вершина z, что Гz = Æ (она называется выходом сети);

3) каждой дуге графа и отнесено целое число с(и), называемое пропускной способностью дуги и.

С понятием транспортной сети тесно связано понятие потока. Пусть х — произвольная вершина. Обозначим

Ux- — множество дуг, заходящих в х, а через Ux+ — мно­жество дуг, выходящих из х. Потоком по транспортной сети называется функция j(u), удовлетворяющая усло­виям:

Функцию j(u) можно рассматривать как количество вещества, протекающего (в единицу времени) по дуге и=(х, у) от х к у. Согласно условию (7-1) это количе­ство вещества не может превышать пропускной способ­ности дуги с (u). Согласно условию (7-2) в каждой вершине х, отличной от входа x0 и выхода z, ко­личество притекающего вещества равно количест­ву вытекающего. Следова­тельно, вещество не мо­жет накапливаться ни в одной вершине транспорт­ной сети за исключением входа и выхода. А это оз­начает, что поток, выходя­щий из входной вершины x0 в точности равен пото­ку, входящему в выход­ную вершину z:

Величина j(z) назы­вается величиной потока транспортной сети.

н а рисунке приведен пример транспортной сети. Ци­фры в разрывах дуг означают пропускную способность дуги. Стрелки указывают направление потоков, а цифры около стрелок — величину потока. К анализу транспорт­ных сетей сводятся многие задачи, возникающие при планировании поставок, распределении товаров между потребителями и т. п.

47. Задача о наибольшем потоке в транспортной сети.

Транспортная задача (классическая) - задача об оптимальном плане перевозок однородного продукта из однородных пунктов наличия в однородные пункты потребления на однородных транспортных средствах (предопределённом количестве) со статичными данными и линеарном подходе (это основные условия задачи).

Для классической транспортной задачи выделяют два типа задач: критерий стоимости (достижение минимума затрат на перевозку) или расстояний и критерий времени (затрачивается минимум времени на перевозку).

Условия задачи располагают в таблице, вписывая в ячейки количество перевозимого груза из Аi в Bj груза Xij>=0, а в маленькие клетки - соответствующие тарифы Cij.

Затем требуется определить опорный план и путем последовательных операций найти оптимальное решение. Опорный план можно найти методом "северо-западного угла" или методом "наименьшего элемента".

Метод северо-западного угла (диагональный). На каждом этапе максимально возможным числом заполняют левую верхнюю клетку оставшейся части таблицы. Заполнение таким образом, что полностью выносится груз из Аi или полностью удовлетворяется потребность Вj.

Одним из способов решения задачи является метод минимального (наименьшего) элемента Его суть заключается в сведении к минимуму побочных перераспределений товаров между потребителями. Алгоритм решения:

Из таблицы стоимостей выбирают наименьшую стоимость и в клетку, которая ей соответствует, вписывают меньшее из чисел.

Проверяются строки поставщиков на наличии строки с израсходованными запасами и столбцы потребителей на наличие столбца, потребности которого полностью удовлетворены. Такие столбцы и строки далее не рассматриваются.

Если не все потребители удовлетворены и не все поставщики израсходовали товары, возврат к п.1, в противном случае задача решена.