40. Ориентированные и неориентировапнные графы. Деревья.

Граф, или неориентированный граф  — это упорядоченная пара , для которой выполнены следующие условия:

— это непустое множество вершин, или узлов,

— это множество пар (в случае неориентированного графа — неупорядоченных) вершин, называемых рёбрами.

(а значит и, , иначе оно было бы мультимножеством) обычно считаются конечными множествами. Многие хорошие результаты, полученные для конечных графов, неверны (или каким-либо образом отличаются) для бесконечных графов. Это происходит потому, что ряд соображений становится ложным в случае бесконечных множеств.

Вершины и рёбра графа называются также элементами графа, число вершин в графе  — порядком, число рёбер  — размером графа.

Вершины и называются концевыми вершинами (или просто концами) ребра . Ребро, в свою очередь, соединяет эти вершины. Две концевые вершины одного и того же ребра называются соседними.

Два ребра называются смежными, если они имеют общую концевую вершину.

Два ребра называются кратными, если множества их концевых вершин совпадают.

Ребро называется петлёй, если его концы совпадают, то есть .

Степенью вершины называют количество инцидентных ей рёбер(при этом петли считают дважды).

Вершина называется изолированной, если она не является концом ни для одного ребра; висячей (или листом), если она является концом ровно одного ребра.

Ориентированный граф

Основная статья: Ориентированный граф

Ориентированный граф (сокращённо орграф)  — это упорядоченная пара , для которой выполнены следующие условия:

— это непустое множество вершин или узлов,

— это множество (упорядоченных) пар различных вершин, называемых дугами или ориентированными рёбрами.

Дуга — это упорядоченная пара вершин , где вершину называют началом, а  — концом дуги. Можно сказать, что дуга ведёт от вершины к вершине .

Смешанный граф

Смешанный граф  — это граф, в котором некоторые рёбра могут быть ориентированными, а некоторые — неориентированными. Записывается упорядоченной тройкой , где , и определены так же, как выше.

Ориентированный и неориентированный графы являются частными случаями смешанного.

Изоморфные графы

Дерево — это связный ациклический граф.[1] Связность означает наличие путей между любой парой вершин, ацикличность — отсутствие циклов и то, что между парами вершинами имеется только по одному пути.

Ориентированное (направленное) дерево — ацикличный орграф (ориентированный граф, не содержащий циклов), в котором только одна вершина имеет нулевую степень захода (в неё не ведут дуги), а все остальные вершины имеют степень захода 1 (в них ведёт ровно по одной дуге). Вершина с нулевой степенью захода называется корнем дерева, вершины с нулевой степенью исхода (из которых не исходит ни одна дуга) называются концевыми вершинами или листьями.[2]

Формально дерево определяется как конечное множество одного или более узлов со следующими свойствами:

существует один корень дерева

остальные узлы (за исключением корня) распределены среди непересекающихся множеств , и каждое из множеств является деревом; деревья называются поддеревьями данного корня