54. Группа подстановки.
- совокупность
подстановок на нек-ром множестве X,
образующих группу относительно операции
умножения подстановок. Иначе, П. г.- это
пара (G, X), где G - группа, X - множество и
каждому
соответствует
подстановка
множества
Xтакая, что 1)
,
,
и 2) х a=х для любого
тогда
и только тогда, когда a=e - единица группы
G. Если выполняется лишь условие 1), то
говорят о действии (или представлении)
группы G на множестве X. В этом случае
подмножество Нэлементов группы G,
оставляющих на месте все
,
будет нормальным делителем в G(называемым
ядром действия) и факторгруппа G/H
действует на Xуже как 11. г. Если X - конечное
множество, то П. г. (G, X).наз. конечной, в
противном случае - бесконечной. Множество
всех подстановок на Xназ. симметрич.
группой и обозначается S(X). или Sn, если
Х={1, 2, . . ., n}.
Подобием (или
изоморфизмом) П. г. (G, X).на П. г. (G', X').наз.
пара (j, y) отображений, где j - изоморфизм
G на G', а y - биекция Xна X', причем оба
отображения согласованы в том смысле,
что для всех
и
имеет
место равенство
.
П. г., между к-рыми существует подобие,
наз. подобными. Если (G, X).- П. г., то на
множестве Xестественно определена
эквивалентность:
для
нек-рого
;
классы эквивалентности П. г. наз. орбитами,
или областями транзитивности, группы
(G, X). П. г. транзитивна, если она имеет
лишь одну орбиту, в противном случае
она интранзитивна (см. Транзитивная
группа).
Произвольная
абстрактная группа Gможет быть представлена
как П. г. на подходящем множестве X(теорема
Кэли). При этом в качестве Xможно выбрать
множество всех элементов группы Gи
сопоставить каждому
отображение,
получающееся в результате умножения
справа на элемент g : xg =xg. Полученное
таким образом регулярное представление
группы Gв виде П. г. не является единственно
возможным. При исследовании П. г.
интересуются другими свойствами, чем
при изучении абстрактных групп. Речь
идет не только о строении группы, а в
первую очередь о том, как группа действует
на множестве X;так, напр., свойство
транзитивности есть свойство П. г., а не
абстрактных групп.
Пусть (G, X).- П. г., а
М- подмножество в X. Совокупность всех
подстановок
,
переводящих Мв себя (то есть
),
образует подгруппу GM, называемую
стабилизатором множества М. Множество
тех подстановок, к-рые оставляют все
на
месте, наз. фиксатором множества Ми
обозначается G{M} Фиксатор будет нормальным
делителем стабилизатора. Если М={a} -
одноэлементное множество, то понятия
стабилизатора и фиксатора совпадают
(он обозначается Ga). Группа наз.
полурегулярной (или действующей
свободно), если стабилизатор каждой
точки является единичной группой и
регулярной (или просто транзитивной),
если группа, кроме того, транзитивна.
Централизатором
группы
Gназ. ее централизатор в симметрич.
группе S(X) - это совокупность подстановок
на X, поэлементно перестановочных со
всеми элементами из G. Централизатор
транзитивной группы полурегулярен, и
наоборот, централизатор полурегулярной
группы транзитивен. Регулярная П. г. (G,
X).подобна вышеприведенному регулярному
представлению группы G. Централизатором
регулярного
представления будет т. н. левое регулярное
представление группы G, сопоставляющее
элементу
подстановку
