58. Поля.

По́лем называется множество F с двумя бинарными операциями (аддитивная операция, или сложение) и (мультипликативная операция, или умножение), если оно (вместе с этими операциями) образует коммутативное ассоциативное кольцо c единицей , все ненулевые элементы которого обратимы.

Иными словами, множество F с двумя бинарными операциями (сложение) и (умножение) называется полем, если оно образует коммутативную группу по сложению, все его ненулевые элементы образуют коммутативную группу по умножению, и выполняется свойство дистрибутивности.

Характеристика поля — наименьшее положительное целое число такое, что сумма копий единицы равна нулю: Если такого числа не существует, то характеристика равна по определению.

Подполем поля называется подмножество, которое само является полем относительно операций сложения и умножения, заданных в . (Подполем поля называется поле относительно операций умножения и сложения, заданных в , несущим множеством которого является подмножество несущего множества )

Расширение поля — поле, содержащее данное поле в качестве подполя.

Поле Галуа — поле, состоящее из конечного числа элементов.

Простое поле — поле, не содержащее собственных подполей.

Характеристика поля всегда или простое число.

Поле характеристики содержит подполе, изоморфное полю рациональных чисел .

Поле простой характеристики содержит подполе, изоморфное полю вычетов .