26. Понятие нечеткого подмножества

Пусть E - универсальное множество, x - элемент E, а R - определенное свойство. Обычное (четкое) подмножество A универсального множества E, элементы которого удовлетворяют свойство R, определяется как множество упорядоченной пары A = {mA (х)/х}, где mA(х) - характеристическая функция, принимающая значение 1, когда x удовлетворяет свойство R, и 0 - в другом случае.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов x из E нет однозначного ответа "нет" относительно свойства R. В связи с этим, нечеткое подмножество A универсального множества E определяется как множество упорядоченной пари A = {mA(х)/х}, где mA(х) - характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значение в некотором упорядоченном множестве M (например, M = [0,1]).

Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента x к подмножеству A. Множество M называют множеством принадлежностей. Если M = {0,1}, тогда нечеткое подмножество A может рассматриваться как обычное или четкое множество.

27. Включение, равенство, дополнение и пересечение нечетких множеств

Включение

Пусть A и B - нечеткие множества на универсальном множестве E.

Говорят, что A содержится в B, если "x ОE mA(x) <mB(x).

Обозначение: A М B.

Иногда используют термин "доминирование", то есть в случае если A М B, говорят, что B доминирует A.

Равенство

A и B равны, если "xОE mA(x) = mB (x).

Обозначение: A = B.

Дополнение

Пусть M = [0,1], A и B - нечеткие множества, заданные на E. A и B дополняют друг друга, если

"xОE mA(x) = 1 - m B(x).

Обозначение: B = или A =

Очевидно, что = A. (Дополнение определено для M = [0,1], но очевидно, что его можно определить для любого упорядоченного M).

Пересечение

AЗB - наибольшее нечеткое подмножество, которое содержится одновременно в A и B.

mAЗB(x) = min( mA(x), mB(x)).

28. Объединение, разность, возведение в степень нечетких множеств

Объединением нечетких множеств  и  в  называется нечеткое множество  с функцией принадлежности вида (рис.9.3) 

 .                         (9.1.1)

Сильным объединением нечетких множеств  и  в  называется нечеткое множество  с функцией принадлежности

Разность

А - B = АЗ с функцией принадлежности:

mA-B(x) = mA З (x) = min( mA(x), 1 - m B(x)).

Частными случаями операции возведения в степень [см. (3.35)] являются операция концентрирования, определяемая следующим образом

                                             (3.40)

и операция растяжения

                                             (3.41)

29. Разность и симметрическая разность нечетких множеств

Разность нечетких множеств А’ и В’ есть множество С’, состоящее из тех элементов универсального множества U , которые при­надлежат нечеткому множеству А’ и не принадлежат нечеткому множест­ву В’.

C’=A’\B’=A’B’.

Степень при­надлежности элемента базового множества нечеткому множеству C’ равна минимальному значению функции принадлежности для нечетких множеств А’ и В’, т.е.

С’(u)=A’(u)(1-B’(u))=min{A’(u); (1-B’(u))}.

Для заданных множеств имеем:

С’=А’\В’={0,1/u1, 0,4/u2, 0,2/u4, 1,0/u5, 0,3/u6}.

Симметрическая разность нечетких множеств А’ и В’ есть множество С’, состоящее из всех тех элементов универсального множества U, которые принадлежат нечеткое множеству А’ и не принадлежат нечеткому множеству В’ или принадлежат нечеткому множеству В’ и не при­надлежат нечеткому множеству А’.

С’=А’В’=(А’В’)(В’А’).

Степень при­надлежности элемента базового множества нечеткому множеству C’ равна максимальному значению двух минимальных значений для множеств (А’В’) и (В’А’), т.е.

C’(u)=(A’(u)B’(u)) (B’(u)A’(ui))=

max{min{A’(u);B’(u)};min{B’(u);A’(ui)}}.

Для заданных множеств имеем:

С’=А’В’= {10,4/u1, 0,4/u2, 0,2/u3, 0,2/u4, 1,0/u5, 0,3/u6, 0,3/u7, 0,3/u8, 0,5/u9}.