10.Методика изучения числовых множеств.

В математических курсах 5-11 классов органично сочетается содержание арифметики, алгебры и анализа. В соответствии с этими «тремя великими А» в данных учебных курсах можно выделить следующие содержательные «линии»: теоретико-числовую линию, линию тождественных преобразований, линию уравнений и неравенств, функциональную линию. С учетом критерия знаний, умений и навыков учащихся, следу Я В. Л. Гончарову, можно выделить следующие линии»: 1)логическую (формирование системы понятий и фактов путем построения определений и доказательств); 2)формально-оперативную (выработка навыков тождественных преобразований, решения уравнений и неравенств, исследования свойств функций и т. п.);3)содержательно-прикладную (решение текстовых задач, включая задачи с геометрическим, физическим и техническим содержанием); 4)вычислительно-графическую (составление таблиц, построение диаграмм, графиков, использование микрокалькуляторов и т. д.).

РАЗЛИЧНЫЕ ПОДХОДЫ МЕТОДИКИ ИЗУЧЕНИЯ ЧИСЛОВЫХ СИСТЕМ.

Изучение чисел в школьном курсе математики ведется такой последовательности: натуральные числа, натуральные числа, нуль, дроби (положительные), отрицательные числа и множество рациональных чисел, иррациональные числа и множество действительных чисел. Эта последовательность отражает исторический. путь развития понятия числа в математике: N→Q+→Q→R. В математике дроби возникли значительно раньше, чем отрицательные числа. В современной математике принята другая последовательность: N→Z→Q→R (логическая схема развития понятия числа). От исторической она отличается более ранним введением отрицательных чисел. Поэтому в такой последовательности после натуральных чисел изучаются целые числа.

В школьном курсе изучение отдельных числовых систем носит концентрический характер. Поэтому последовательность изучения чисел в школе сложнее, чем приведенные выше историческая или логическая схемы развития понятия числа. Многоэтапность изучения чисел в школе возрастает также за счет того, что для некоторых из них рассматриваются различные содержательные трактовки. В школьном учебнике в подобных случаях говорится о «различных формах записи чисел». Например, рациональное число представляется и как дробное число и как десятичная дробь. При этом возникают определенные методические проблемы: объяснение учащимся целесообразности двойного изучения рациональных чисел, определение соотношения различных подходов (чему больше уделять внимания: изучению рациональных чисел в представлении их как дробных чисел или как десятичных добей), выбор последовательности изучения (что изучать вначале: обыкновенные или десятичные дроби).

Первый шаг в изучении чисел состоит в овладении навыком счёта от 1 до 10. Одновременно учащиеся обучаются обратному счету, выполнению действий по прибавлению и вычитанию 1, 2 и т. д. На этой основе в начальных классах изучается весь ряд натуральных чисел. При дальнейшем расширении понятия числа учитываются следующие факторы: потребности математики (алгебраическая концепция расширения понятия числа), потребности практики (например, практики измерения величин), возрастные возможности учащихся (психологический фактор). В различных учебниках это проявляется по-разному: в действующем и пробных учебниках реализуются различные последовательности рассмотрения понятия числа в школьном курсе. Различные подходы к изучению числовых систем проявляются также в выборе места их изучения. Программа по математике предусматривает завершение изучения действительных чисел в 8 классе. Строгое построение теории действительных чисел в средней школе затрудни- тельно. На наглядном же уровне с основными понятиями и фактами этой теории учащихся можно ознакомить довольно рано. Этим объясняется получающая распространение тенденция к более раннему завершению изучения действительных чисел в средней школе.

Возможны различные способы построения множества В. Множество В может быть построено как новое множество (независимо от множества А), затем в В выделяется подмножество, изоморфное множеству А, которое отождествляется с множеством А. В дидактическом отношении больше подходит другой способ. Он состоит в том, что известное . множество А не заменяется изоморфным множеством, а дополняется новыми элементами, в результате чего получается новое множество В. Именно этот способ реализуется в школьных учебниках.

В математике существуют два подхода к построению числовых систем: аксиоматический и конструктивный. В школьном курсе присутствуют элементы обоих этих подходов. Некоторое применение в школьных учебниках находит операторная точка зрения на число.