17.Квадратичная функция.
Программа предусматривает изучение фун-й у=х2 в 8 кл. и у=ах2+bх+с в 9 кл. В этих кл-х усиливается роль аналитического метода исследования ф-ций. Однако данный метод не вытесняет граф-кий, а сочетается с ним. Изучение темы «График квадратичной фун-и» можно начать с постановки проблемной задачи: «Требуется выяснить, что представляет собой график фун-и у=0,5х2–8х+35». Полезно предложить учащимся вычислить координаты нескольких точек графика. Обычно учащиеся начинают со значений переменной х, равных 0, 1, 2, ... Соответствующая таблица будет иметь вид
x |
0 |
1 |
2 |
… |
y |
35 |
27,5 |
21 |
… |
По этим координатам строятся несколько точек графика. Обнаруживается, что по таким точкам трудно установить вид графика. Чтобы легче определить какие точки надо взять, выделим из трехчлена 0,5х2–8х+35 квадрат двухчленна: у=0,5(х–8)2+3. При составлении таблицы значений этой фун-и удобно начать с х=8 при котором фун-ия принимает наименьшее значение у = 3. далее можно брать значения х, отличающиеся от 8 на одно и тоже число, напр, x=7 и x=9, х=6 и х=10 и т. д. получим след. таблицу:
x |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
y |
7,5 |
5 |
3,5 |
3 |
3,5 |
5 |
7,5 |
Построив соответств. точки графика, учащиеся замечают, что эти точки принадлежат параболе. С помощью шаблона параболы можно показать, что график функции у=0,5(х–8)2+3 может быть получен из графика ф-ции у = 0,5х2 с помощью ||-го переноса, кот. переводит точку 0(0; 0) в точку 0’(8; 3).
Программа предусм-т изучен. ф-ий у=х² в 8 кл. и у=aх²+bх+с в 9 кл. В этих кл-х усилив-cя роль аналитич-го метода иссл-ния ф-ций. Однако данный метод не вытесняет графич-й, а сочет-ся с ним.
Требуется выяснить, что представляет собой график функции у=0,5х²–8х+35. Полезно предложить учащимся вычислить координаты нескольких точек графика. Обычно учащиеся начинают со значений переменной х, равных 0, 1, 2, ... Соответствующая таблица будет иметь вид:
x |
0 |
1 |
2 |
… |
y |
35 |
27,5 |
21 |
… |
По этим координатам строятся несколько точек графика. Обнаруживается, что по таким точкам трудно установить вид графика. Чтобы легче определить, какие точки надо взять, выделим из трехчлена 0,5х²–8х+35 квадрат двучлена: у=0,5(х–8)2+3. При составл-и табл. значений этой фун-и удобно начать с х=8, при кот. фун-я принимает наименьшее значение у=3. Далее можно брать значения х, отличающиеся от 8 на одно и то же число, например х=7 и х=9, х=6 и х=10 и т. д. Получим след. табл.:
x |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
y |
7,5 |
5 |
3,5 |
3 |
3,5 |
5 |
7,5 |
С помощью шаблона параболы можно показать, что график ф-ции у=0,5(х–8)2+3 м. б. получен из графика ф-ции у 0,5х² с помощью ||-ного переноса, который переводит точку 0(0; 0) в точку О’(8; 3).
Докажем
это предположение. При док-ве учтем, что
||-ный перенос переводит точку М(х0;
у) в точку М’(х0+8;
у0+3).
Действ-но, пусть М(хо; уо) – произв-ная
точка параб-ы у=0,5х² и М’(х; у) — образ
точки М при параллел переносе на вектор
ОО´ Так как вектор ММ´=ОО´ и ММ´(х–х0;
у–у0),
ОО´(8;3), то х–х0=8
и у–у0=3.
=> х=х0+8,
у=у0+3.
Лежит ли точка М’(х0+8;
у0+З)
на графике ф-ции у=0,5(х–8)2+3?
Подставим корд-ы точки М’ в уравнение
у=0,5(х–8)2+3:
у0+З=
0,5(х0+8–8)²+3,
получим, что у0=0,5
х0².
Последнее рав-во верно, так как точка М
принадлежит параболе у=0,5х².Парабола у
= 0,5х² при ||-ном переносе переходит в
график ф-ции у=0,5(х–8)2+3.
Значит, графиком ф-ции у=0,5(х–8)2+3
явл. также парабола. В заключение
формулируется обобщение: графиком ф-ции
у=а(х–m)²+n
явл. парабола, в которую переходит
парабола у=ах² при параллельном переносе
на вектор OO´(m;n).
Далее по графику устанавливаются все
основные свойства функции у=0,5х²–8х+35.
Аналогично проводится исследование
квадратичной функции в общем виде.