63.Методика поиска решения геометрических задач на вычисления.

Основным методом поиска решения задач является анализ и синтез. Благодаря анализу осуществляется целенаправленная актуализация знаний. В ходе анализа естественно определяется момент использования знаний, выбор знаний, форма использ-я знаний и характер использ-ния знаний. Анализ – это метод рассуждений от искомых к данным. Синтез – метод рассуждений, ведущий от данных к искомым. При решении задач с помощью аппарата арифметики роль анализа сводится к составлению плана решения, задача же чаще всего решается синтетическим методом.

ЗАДАЧА: Большая комната имеет длину 5 м и ширину 4 м, а меньшая - длину 4 и ширину 3 м. На сколько площадь одной из них больше площади другой?

Анализ. Чтобы ответить на вопрос задачи, надо вычислить разность площадей комнат, а для этого надо знать площадь каждой комнаты. Площадь же комнаты равна произведению её длины и ширины. План задачи: найти площадь каждой из комнат и из большей вычесть меньшую.

Синтез. 1-ый способ. 1) Какова площадь большей комнаты?

5*4=20 (м²)

2) Какова площадь меньшей комнаты?

4*3=12 (м²)

3) На сколько площадь первой комнаты больше площади второй комнаты?

20-12=8 (м²)

2-ой способ. Площадь большей комнаты 5*4 (м²), площадь меньшей 4*3 (м²), их разность 5*4-4*3=4(5-3)=8 (м²)

Очевидно, второй способ синтетического решения более удобен, так как применение распределительного закона умножения значительно упрощает вычисления.

Этапы решения задачи:

1. Усвоить содержание задачи. Нельзя приступать к решению задачи, не уяснив четко, в чем заключается, т. е. не установив, каковы данные и искомые или посылки и заключения. Если задача геометрическая, полезно сделать чертеж к задаче и обозначить на чертеже данные и искомые. В том случае, когда это сделано, надо ввести подходящие обозначения.

2. Составить план решения задачи. Правильно составленный план решения задачи почти гарантирует правильное ее решение. Если план не удается составить, учитель предлагает ненавязчивые вопросы, советы, помогающие ученику лучше и быстрее составить план решения задачи.

3. Реализация плана решения задачи. План указывает лишь общий контур решение задачи. При реализации плана решающий задачу рассматривает все детали, которые вписываются в контур. Эти детали надо рассматривать тщательно и терпеливо. Но при этом ученику (решающему задачу) полезно следовать некоторым советам: проверяй каждый свой шаг; заменить термины и символы их определениями; воспользоваться свойствами данных в условии объектов.

4. Анализ и проверка правильности решения задачи. Ученику следует проверять результаты и проверять ход решения.

5. Пример применения рекомендуемых советов и вопросов при решении задач. Задача. Три пункта А, В, С соединены прямолинейными дорогами. К отрезку дороги АВ примыкает квадратное поле со стороной, длина которой равна половине длины АВ, к отрезку дороги ВС примыкает квадратное поле, длина стороны которого равна ВС, а к отрезку дороги АС примыкает прямоугольный участок леса, длиной, равной АС, и шириной 4 км. Площадь леса на 20 км больше суммы площадей квадратных полей. Найти площадь леса.

Усвоение содержания задачи. Ознакомившись с задачей, начинаем работу над усвоением её содержания. Выделим данные: даны пункты А, В, С, поле площадью (0.5АВ)² и ВС², лес площадью 4АС. Известно, что площадь леса на 20 км² больше суммы площадей полей. Искомой является площадь леса, точнее, его длина АС, Полезно выполнить чертеж.

Введем обозначение АВ=x , ВС=у, АС=z. Последнее можно считать окончанием работы над усвоением содержания задачи и началом составления плана решения задачи.

С оставить план решения задачи. Мы уже установили часть связей между данными и искомыми. Теперь эту связь можно записать в виде системы

4z=x²/4+y²+20

x+y>=z, или x+y>=x²/16+y²/4+5

Реализация плана решения задачи. Перенесем все переменные в одну (правую) часть неравенства, получим не положительным многочлен, но

x²/16 - x+y²/4 - y+5=x²/16 – 2*x/4*2+4+y²/4 – 2*y/2*1+1=(x/4 – 2) ²+(y/2 – 1) ²/ Так как сумма квадратов не может быть отрицательной эквивалентное системе уравнение (x/4 – 2) ²+(y/2 – 1) ²=0. Отсюда x/4 – 2=0 и y/2 – 1=0, или x=8, y=2. Но тогда z=10 из уравнения 4z=x²/4+y²+20, а площадь леса 4*10=40 км²

Проверка правильности решения. Подстановкой в уравнение 4z=x²/4+y²+20 устанавливается, что найденные значения x, y, z являются его решением. Потом проверяем условие задачи. После проверку убедились, что точки А, С, В лежат на одной прямой.