51. Исследовательский анализ задач по тригонометрии

Систематический курс тригонометрии проходят ученики 9-х и 10-х классов. При этом особое внимание уделяется тождественным преобразованиям тригонометр-их выражений с переменными. Такая работа позволяет в какой-то степени усвоить учениками свойства тригонометр-их функций, кот выражаются формулами. Свойства этих функций, кот не описываются формулами (огранич-ть, неогранич-ть, четность, нечетность, монотонность, вьтпуклость, вогнутость и т.п.) почти не используются при решении традиционных школьных задач по тригонометрии, поэтому и усвайнаются учениками формально. Стремление научить решать определенные ТИПЫ тригоном-их уравнений только по формулам приводит к тому, что большинство учащихся не видит смысла в изучении всего тригонометр-ого материала. В результате теряется интерес к предмету. Чтобы изучение тригонометр-ого материала было развивающим, необходима иная структура учебного материала и обучающая система упражнений. Коренным образом меняются возможности традиционных школьных тригоном-их уравнений и неравенств, если для их исследования прим-ся общие свойства соответствующих функций. Возможный общий план исследовательского анализа тригонометр-их уравнений:

1) Определяется наименьший положительный (основной) период Т уравнения F(х)=0. Исследуется функция F(х) на четность (нечетность) (если F(х) — четная функция, то Т уменьшается в два раза). В этом случае отрезок длиной Т выбирается с центром в начале координат.

2) Выбирается какой-либо отрезок (а;b) длины Т.

3) Определяется подмн-во М точек этого отрезка, на котором определена функция F(х).

4) На подмножестве М находим отрезки, которым не могут принадлежать корни уравнения F(х) = 0.

5) Уравнение F(х) = 0 преобразуется к виду Р(х) = K(х) (Р(х) и K(х) — монотонные функции на соответствующих подмножествах отрезка [а;b]).

б) Выполняется поиск корней уравнения F(х) =,0 на этих подмножествах. При этом сначала выясняется существование корней уравнения F(х) = 0 на тех подмножествах, где Р(х) и K(х) — функции различной монотонности.

7) Выясняется существование корней уравнения F(х) = 0 на тех подмножествах, где Р(х) и К(х) — функции одинаковой монотонности.

8) Методом ступенек, при помощи производной, различных эквивалентных и неэквивалентных преобразований уравнения F(х) = 0 изолируются его корни (Р(х) и М(х) — функции одинаковой монотонности).

9) Вычисляются с заданной точностью корни уравнения F(х) = 0 на отрезке [а; b]

10) Записывается все множество корней уравнения F(х) = 0.

Рассмотрим примеры:

Задача 1. Найти корни уравнения

sinх(sinх + 3) = (соsх – 1),

которые принадлежат промежутку [0; 2).

Замечаем, что нуль является корнем этого уравнения. Преобразовываем уравнение (1) следующим образом:

sinх + З = 2(соsх – 1)/sinх,

sinх + З = —2tg0,5х.

На интервале (0;) левая часть уравнения (2) больше З, а правая часть неположительная. Поэтому этому промежутку не принадлежат корни данного уравнения.

На промежутке [; 1,5) верно неравенство –2tg0,5х ≤2 и неравенство sinх +3≥2. Очевидно, ни одна точка этого промежутка не является решением уравнения (2).

Замечаем, что 1,5 – корень уравнения (1). На интервале (1,5; 2) верны неравенства –2 ≤ tg0,5х ≤ –2; sinx≥2.

Таким образом, только числа 0 и 1,5 являются решениями задачи.

53. Функциональный метод

Под функциональным подходом понимается организация учебной деятельности, которая направлена на формирование общих и специфических приемов мышления на основе функционального представления математических объектов. К числу специфических относятся умения:

-составлять таблицы значений элементарных функций (имеется в виду широкое использование вычислительной техники);

-изображать графики функций, уравнений и неравенств (переводить на геометрический язык, на язык графических образов на адекватном уровне математическую информацию);

-читать графическую информацию, информацию табличных данных, и на этой основе формулировать и обосновывать гипотезы о математических фактах и закономерностях;

-исследовать (без помощи производной) нестандартно заданные функции;

-применять свойства сложных функций для исследования уравнений, неравенств и их систем;

-динамизировать геометрические объекты с целью поиска плана решения геометрической задачи и с целью функционального доказательства геометрических утверждений.

Вообще, общий функциональный подход предполагает рассмотрение любого математического объекта как элемента (подмножества) некоторого множества аналогичных математических объектов, предполагает установление методически целесообразных аналогий между двухмерными и трехмерными геометрическими объектами, установление аналогичных свойств и различий между разными функциональными зависимостями.

Функциональный подход предполагает рассматривать любую функцию как произведение (сумму) некоторых других функций.

Проиллюстрируем сказанное примером, который, на первый взгляд, не имеет отношения к теме разговора: Известно, что периметр прямоугольного треугольника АСВ (угол С прямой) равен 180 мм, его высота СН равна 50 мм. Определить стороны треугольника АВС.

Методология общего функционального подхода исходит из того, что прежде чем складывать (составлять) какие-то уравнения для поиска ответа, необходимо выяснить, какому множеству прямоугольных треугольников может принадлежать искомый треугольник АВС, какие общие свойства элементов (треугольников) этого множества нам известны.

В самом деле, если периметр треугольника равен 180 мм, то гипотенуза АВ (наибольшая сторона треугольника АВС) меньше 180 : 2 = 90. Известно, что высота СН прямоугольного треугольника АВС не больше половины гипотенузы АВ, т.е. СН меньше 45 мм (в прямоугольном треугольнике медиана, соответствующая к гипотенузе, равна ее половине, а высота, опущенная на гипотенузу, не больше этой медианы). Становится понятным, что треугольника АВС с названными в задаче характеристиками не существует.

Всякий, кто владеет общим функциональным подходом, менее всего стремится решать любую математическую задачу только при помощи вычислений и тождественных преобразований выражений с переменными. Он будет прежде всего стремиться увидеть в задаче функциональное содержание и найти пути и способы применения общих свойств функций к ее решению.

В подтверждение сказанному приведем два примера: 1) Решить неравенство x + (x + 1) + (x+2)<2.

Ученик, обладающий функциональным видением математических объектов, обратит внимание на то, что левая часть этого неравенства есть сумма трех возрастающих функций, и поэтому наименьшее значение левая часть неравенства принимает при х = 0. Отсюда ясно, что данное неравенство не имеет решений.

2) Даны параллельные прямые a, b, c. Доказать, что на этих прямых существуют соответственно точки А, В и С, что треугольник АВС подобен данному треугольнику А₁В₁С₁.

Отметив на прямой b произвольную точку В и вращая вокруг нее угол, равный углу А₁В₁С₁, наблюдаем, как с изменением положения точек А и C соответственно на прямых а и с изменяются длины сторон ВА и ВС треугольника АВС. В результате приходим к предположению, что задача решается устно, если применить свойства монотонных функций.

Отметим также, что хотя в школе много внимания уделяется изучению свойств функций (линейной, квадратичной, тригонометрических, показательной, логарифмической), однако система упражнений в действующих учебниках алгебры, геометрии, алгебры и начал анализа (в т.ч. и в учебниках для углубленного изучения математики) никак не содействует формированию диалектического мировоззрения учащихся. В этих учебниках практически нет задач на эффективное применение общих свойств функций (монотонности, непрерывности, предела, ограниченности, выпуклости, вогнутости и т.п.).