55. Обобщение и параметризация задач и методов их исследования.

Задачи с параметрами(по алгебре и геометрии)–– основное и самое доступное средство реализации идей развивающегося и многоуровневого обучения,.

Чтобы сделать задачи с параметрами развивающим материалом необходимо параметр рассматривать как равноправную переменную, а не фиксированное, но неизвестное число.

Только такой подход к параметрам позволяет в максимальной степени геометризовать алгебраические задачи и свести поиск их решения к умению строить графики уравнений F(x,a)=0 с двумя переменными и на этой основе исследовать решения этого уравнения и соответствующих ему неравенств.

Основное место должны занимать динамические упражнения, что позволит существенно сблизить изучение алгебраического и геометрического материала, развивать динамическое и пространственное воображение, сокращать объем тождественных преобразований выражений с переменными.

Особое место задач с параметрами объясняется тем:

1. Поиск их решений связан с рассмотрением отдельных значений параметров, при которых задача имеет или не имеет решения, с разделением на несколько подзадач.

2. Относительно просто организовать их коллективный исследовательский анализ.

3. Поиск решений сопровождается построением графиков и их преобразованием.

4. Можно осуществить комплексное непрерывное повторение алгебраического и геометрического материала.

Решение олимпиадных ур-ний с двумя переменными в большинстве случаев сводиться к:

1. Решение уравнения F(x,a)=0 с одной из переменных.

2. Приведение уравнения F(x,a)=0 к виду C(x,a)= K(x,a), где C(x,a) и K(x,a) наиболее простые с точки зрения данной конкретной задачи.

3. отдельные исследования функций:

• установление области определения;

• определение тех промежутков из области опр., которым не могут принадлежать корни уравнения F(x,a)=0, и тех значений параметра, при которых эти корни не существуют;

• очень аккуратное изображение графиков F(x,a)=0 и их чтение.

60. Методика введения понятия ф-ции в классах с угл. Изучением м-ки (е.А.К)

В процессе преподавания курса "Алгебра и начала анализа" следует уделить особое внимание функциональной направленности этого курса. Так, вопросы исследования функций (позднее с помощью производной) в той или иной форме следует ставить в течение всего времени обучения, подчеркивая при этом единство таких понятий, как функция, уравнение, неравенство. Например, от учащихся нужно требовать ясного понимания того, что решение уравнения f(х) = 0 и неравенства f(х ) > 0 являются частным случаями задачи исследования функции у = f(х) (корни функции и промежутки знакопостоянства). Понятие функции полезно трактовать с теоретико-множественных позиций; это дает возможность более четкого определения многих математических понятий, более тесно свяжет изучаемые математические свойства объектов с жизненной практикой.

При введении новой темы полезно использовать методический принцип: практика - теория - практика. В силу этого принципа изучение темы обычно начинается с так называемых "целесообразных" задач практического характера, решение которых приводит к необходимости (или, по крайней мере, к целесообразности) изучения соответствующего раздела теории.

Этот методический принцип можно применять и в другой форме: не по ступенькам (практика-теория-практика), а одновременно. Так, при изучении темы "Логарифмы и логарифмическая функция" полезно, чтобы учащиеся умели формулировать некоторые свойства на "трех языках" (языке функции, языке логарифмов, языке графика);

например:

а) логарифмическая функция f (х) = 1оg_a х непрерывна; б) малому изменению числа соответствует столь же малое изменение его логарифма; в) кривая графика - сплошная линия; г) свойство непрерывности дает практическую возможность ограничиться при вычислении четырехзначными таблицами логарифмов:

lg 6,42567695 ≈lg 6,426.

При проведении уроков повторения нужно обратить особое внимание на систематизацию знаний учащихся по основным ведущим идеям школьного курса математики ("Учение о числе", "Учение о функции", "Исчисление площадей и объемов" и т. п.). Повторение должно охватывать не только все основные вопросы теории, но и практики. Упражнения, которые при этом рассматриваются, должны быть достаточно сложными. Именно при повторении полезно решать задачи, составляющие содержание конкурсных экзаменов в МГУ, МФТИ и других институтах.

В заключение заметим, что, помимо основной задачи (отбор, обучение и воспитание молодежи, проявившей к изучению математики особый интерес и способности), школы и классы физико-математического профиля решают задачу поиска перспективного содержания, форм и методов обучения математике для массовой школы, т. е. являются по существу своеобразными школами-лабораториями, нацеленными в будущее.

Из программы

Числовая функция. Область определения и множество значений функции. Способы задания функции. Тождественно равные функции.

График функции. Геометрические преобразования графиков функций.

Свойства функции: наибольшее и наименьшее значение функции; нули функции и промежутки знакопостоянства; четность и нечетность, возрастание и убывание. Элементарное исследование функции.

Функции: у = kx, у = k/x, у = ах², у = х³, у = , у = , y=|x| , у = kx + b, у = ах²+bх+с, у=[х], у={х}, их графики и свойства.

Кусочно-заданная функция и ее график. Построение графиков функции, аналитическое задание которых содержит знак модуля, [примеры построения графиков рациональных функций].

Числовая последовательность. Способы задания последовательности.

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула п-го члена и суммы первых п членов. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и сумма ее членов.

Виды последовательностей: возрастающие и убывающие последовательности, ограниченные и неограниченные последовательности, сходящиеся последовательности].

[Функция как соответствие между множествами].