3.Формирование математических понятий.

Мы отличаем один объект от другого, пользуясь различными качествами, признаками или особенностями объектов. Среди различных свойств изучаемых объектов можно выделить: единичные (для них характерно то, что они являются его отличительными свойствами; например, уравнение второй степени с одной переменной – квадратное уравнение): общие (могут быть отличительными (если выражают существенные свойства, выделяющие объект из множества других) и неотличительными).

В процессе отражения в мозгу человека этих свойств объектов возникает особая форма мышления – понятие. Для него характерны: понятие есть продукт высокоорганизованной материи; отражает материальный мир; предстаёт в познании как средство обобщения; означает специфически человеческую деятельность; формирование понятия в сознании человека неотделимо от его выражения посредством речи, записи или символа.

Процесс формирования некот. понятия – постепенный процесс, проходящий в несколько стадий:

1. На первой ступени познания дети знакомятся с различными конкретными множествами (рисунок). Они не только видят каждое из этих множеств, но и могут осязать (потрогать) те предметы, из которых эти множества состоят. На этой стадии познания они могут обращать внимание на самые разнообразные конкретные свойства как самих предметов, так и множеств, для которых эти предметы являются элементами. Этот процесс «видения» создаёт в сознании ребёнка особую форму отражения реальной действительности, которая называется восприятием (ощущением). Чувственное восприятие объекта есть начальная, простейшая ступень в его познании – первая ступень в формировании соответствующего ему понятии. Восприятие  в сознании человека только в то время, когда какие-либо объекты или явления воздействуют на его органы чувств, в то же время они не исчезают бесследно.

2.Уберём объекты, составляющие каждое множество, и предложим детям забыть о том, каковы были эти объекты. Было ли нечто общее, характеризующее каждое из этих множеств? В сознании детей должно было запечатлеться число предметов в каждом множестве, то, что всюду было по «три». Если это так, то в сознании детей создалась новая форма – представление о числе «три».

3.До сих пор дети имели дело с множествами предметов, в каждом из которых было по три предмета. На основе мысленного эксперимента на следующей ступени познания дети должны усмотреть, что свойство, выраженное в слове «три» характеризует любое множество любых элементов вида {a, b,c}. Тем самым выделена существенная общая особенность таких множеств – «иметь три элемента». Теперь можно сказать, что в сознании детей сформировалось понятие о числе 3.

Из этого примера видно, что понятия образуются путём операции обобщения, которое неразрывно связано с абстрагированием.

В отличие от восприятия и представления, понятие фиксирует в нашем сознании только существенные для этого случая признаки и свойства (являющиеся признаками этого понятия). Т. о. понятие – это форма мышления, в которой отражены существенные (отличительные) свойства объектов изучения. Понятие считается правильным, если оно верно отражает реально существующие предметы. Каждое понятие может быть рассмотрено по содержанию (множество всех существенных признаков данного понятия) и по объёму (множество объектов, к которым применимо данное понятие). Большая роль в процессе формирования понятий принадлежит речевому и символьному их выражению. Слово, обозначающее строго определённое понятие какой-либо области, называется научным термином. Процесс раскрытия содержания понятия состоит в перечислении его признаков. Перечисление необходимых и достаточных признаков понятия, сведённых в связное предложение, есть определение понятия. Некоторые первоначальные понятия не определяются (или косвенно определяются через аксиомы). Процесс выяснения объёма понятий – классификация – разделение множества объектов, составляющих объём родового понятия, на виды. Это разделение основано на сходстве объектов одного вида и отличии их от объектов других видов в существенных признаках.

Условия правильной классификации: должна проводиться по определённому неизменному признаку; получающиеся понятия должны быть взаимно независимыми; сумма объектов понятий, получающихся при классификации, должна равняться объёму исходного понятия; в процессе классификации необходимо переходить к ближайшему в данном родовом понятии виду.

Усвоение учащимися некоторого математического понятия предполагает, наряду с чётким представлением об его объёме и содержании, умение применять это понятие в процессе своей математической деятельности, а также способность к актуализации основных фактов, относящихся к данному понятию. Применяя то или иное математическое понятие при доказательстве каких-либо теорем и решении задач, важно уметь обнаруживать данное понятие в тех случаях, где оно выступает в более или менее скрытой форме.

4.Психологические закономерности формирования математических понятий.

Этапы процесса обучения	Психологические ступени формирования понятия	Конкретное словесное или символиче-ское выражение данного понятия; конкретные модели данного понятия
1-й шаг. Отыскание ярких практических примеров, показывающих целесообразность изучения этого понятия.	Восприятие и ощущение	Строительство железной дороги на прямых участках пути (укладка рельсов); контуры проема двери
2-й шаг. Выявление различных существенных и несущественных признаков данного понятия (учащиеся), введение термина, обозначающего данное понятие (учитель)	Переход от восприятия к представлёнию	1) Горизонтальное расположение прямых (несущественный признак) 2) Равноотстоящие друг от друга (существенный признак) З) Прямые, не имеющие общих точек (существенный признак) 4) Прямые бесконечно продолжаются в обе стороны (несущественный признак)
Рассмотрение особых случаев, если они имеются		Отмечается, что совпадающие прямые также находятся друг от друга на одинаковом (равном нулю расстоянии
Мотивировка термина, обозначающего данное понятие (учитель)		Параллельный от греческого слова parallelos, означающего «рядом идущий»
З-й шаг. Отбор существенных свойств понятия и формулировка определений этого понятия; первичное определение, внесение поправок, вторичное определение (учащиеся)	Переход от представления к понятию	1) Параллельные прямые - пара равноотстоящих прямых (нечётко, контрпример: стороны некоторого угла являются также в некотором смысле равноотстоящими по отношению к его биссектрисе) 2) Параллельные прямые не имеют общей точки (неполное: контрпример - скрещивающиеся прямые, совпадающие прямые и т.д.
Четкое определение (учитель); повторение определения (учащиеся)		З) Определение: «две прямые a и b, принадлежащие одной плоскости, называются параллельными, если они не имеют общих точек или совпадают»
4-й шаг. Иллюстрация понятия конкретными примерами; модели понятия (динамичные и статические); контрпримеры	Образование понятия	1) Ступеньки лестницы; 2) Плинтус пола в комнате и линия пересечения потолка с боковой стеной; З) Соответствующие ребра куба на его модели
Символическое обозначение		4) Пересекающиеся прямые. a//b или (АB)//(СВ)
5-й шаг. Другие возможные определения данного понятия (учитель не должен быть педантом, требующим дословного повторения формулировки определения, но должен проявлять нетерпимость к математической некорректности речи и записи)	Усвоение понятия	Можно дать определение по частям: 1) Параллельные – это прямые, которые: а) лежат в одной плоскости; б) совпадают или совсем не имеют общих точек 2) Параллельные прямые - прямые, лежащие в одной плоскости, которые не могут иметь только одну общую точку.