22. Функциональная пропедевтика

Чтобы подготовить учеников к сознательному усвоению идеи функциональной зависимости, понятий функции и уравнения в VII и более старших классах школы, необходимо заранее и постепенно подготовить их к знакомству с этими понятиями.

В плане подготовки должны быть использованы всевозможные упражнения, которые не ведут непосредственно к каким-либо обобщениям, но доступны ученикам младших классов и могут служить для накопления ими опыта. Этот опыт будет создавать у них необходимые представления, ведущие к образованию соответствующих понятий на конкретной числовой и графической основе. Далекие от обобщений и специальной терминологии, эти упражнения должны помочь учащимся выяснить, что рассматриваемое ими одно и то же выражение может приобретать различные значения в зависимости от числовых значений входящих в него букв. Эти упражнения должны помочь учащимся понять различные способы выражения функциональных зависимостей.

Так, например, в V классе при изучении изменения результатов действий при изменении компонентов в области дробных чисел в качестве упражнений для учеников полезно составлять таблицы сумм, разностей, произведений двух чисел, когда один из компонентов остается неизменным, а другой меняется. Таблицам можно придать следующий вид.

Р ассматривая эти таблицы, легко установить зависимость результатов от величины компонентов действий и характер изменения этих результатов. Так, можно предложить ученикам сравнить вычитаемое и соответствующие разности в примерах З и 4 во II колонке. Вычитаемое увеличено на

3*(11/24)-1*(7/16) = 2*((22-21)/48) = 2*(91/48)

разность при этом уменьшилась на

26*(5/16)-24*(7/24) = 2*((15-14)/48) = 2*(1/48)

Разобрав подобным образом несколько примеров, ученики заметят, что при увеличении вычитаемого на некоторое число разность уменьшается на то же число. (Раньше, до знакомства с дробными числами, говорилось, что увеличение вычитаемого на несколько единиц влечет уменьшение разности на столько же единиц.) Таким образом проверяется, что зависимость между компонентами действий, установленная для целых чисел, распространяется и на дробные числа.

В У классе при повторении и изучении геометрического материала появляется возможность углубить понятие о переменной величине. Так, например, периметр прямоугольника при выбранной длине основания будет меняться в зависимости от высоты прямоугольника. длина периметра при длине основания, равной 4 лин. единицам, и меняющейся высоте будет выражаться Р=8+2х.

Полезно составить таблицу изменения длины периметра. В V классе можно познакомить учащихся с графическим выражением зависимости между величинами.

Так, при повторении геометрического материала V класса и разборе зависимости длины периметра прямоугольника с основанием, равным 4 лин. единицам от высоты, получаем таблицу, которую можно использовать для построения графика. Если в концах отрезков, выражающих высоты, поставить отрезки, выражающие соответствующие периметры, то получится столбчатая диаграмма. А если первые отрезки (высоты) отложить на одной прямой от некоторой точки О, то можно заметить, что концы вторых отрезков (периметров) будут лежать на одном луче. Этот луч и будет графиком изменения длины периметра (рис. 21).

Такая же работа может быть проведена при нахождении площади прямоугольника, у которого длина основания 4, а высота меняется.

Так же как и в предыдущем случае, построим таблицу изменения 4• х и графическое выражение этого изменения (рис. 22). Конечно, во всей этой работе должен соблюдаться педагогический такт, употребляться соответствующий язык, не допускающий на этом этапе обучения новой, ненужной здесь терминологии оси, координаты и т. п

Все указанное проделать в классе трудно (не хватит времени), но некоторую работу сделать учащиеся могут и должны. Эту часть работы устанавливает сам учитель, например изготовление первых чертежей для каждого случая. Дома же учащимся может быть предложено перенести эти чертежи на миллиметровую бумагу (определенного формата) и закончить остальные чертежи.

Многократные упражнения подобного характера создадут у учащихся нужное представление о графическом выражении рассматриваемой зависимости.

Программы по алгебре VI класса предусматривают выполнение учениками графиков изменения температуры и графиков движения и умение читать эти графики.

Весь полученный графический материал с успехом может быть использован при изучении прямой пропорциональности величин в VI классе, при изучении функции у=ах в VII классе и в теме <‘Функции и их графики> в VIII классе.