14.Различн. Подходы к построению теории действ-х чисел.

В математике существуют различные построения теории действительных чисел (по Дедекинду, Вейерштрассу, Кантору и др.). Однако все эти построения являются сложными (не случайно, что в математике они окончательно оформились лишь во второй половине ХiХ в.). Имеются попытки относительно строгого построения действительных чисел для учащихся математических классов, кружковой работы, но они не пригодны для массовой школы. Вместе с этим понятие действительного числа (как бесконечной десятичной дроби), основные факты теории действительных чисел доступны учащимся уже в 7—8 классах. В настоящее время наблюдается тенденция более раннего завершения изучения действительных чисел. Программа рекомендует знакомить с представлением рациональных чисел в виде бесконечной десятичной дроби в 6 классе, с понятиями иррационального и действительного чисел в 8 классе. Раннее изучение действительных чисел ускоряет формирование у учащихся цельной системы знаний о числах, полнее обеспечивает потребности практики вычислений, позволяет строже изложить некоторые вопросы о функциях и т. д. Известно, что для практических вычислений множества рациональных чисел достаточно. Поэтому мотивировка введения иррациональных чисел опирается, прежде всего, на выявление внутренних потребностей математики. Они обнаруживаются, например, при решении следующих задач.

1. Является ли значение квадратного корня из числа 2 рациональным числом?2.Каковы корни уравнения х*х‘—2=0?3.Каким числом выражается длина диагонали квадрата со стороной, равной 1?

Первое знакомство с иррациональными числами не следует ограничивать рассмотрением единичных примеров таких чисел, в этих целях, согласно принципу варьирования, полезно рассмотреть с учащимися следующую задачу: «Если натуральное число не есть квадрат некоторого натурального числа, то оно есть квадрат иррационального числа. докажите это». На основе доказанного факта можно утверждать, что квадратные корни из 2,3,…являются иррациональными числами. Важно, чтобы у учащихся не сложилось представление об иррациональных числах только как о квадратных корнях. Целесообразно еще раз воспользоваться принципом варьирования и привести такие примеры иррациональных чисел: 2,З133133З13З331,. 5,454554555455554...; 0,07007000700007...; — 4,676776777677776.,. Перейдем к методике введения арифметических ‘ действий над действительными числами. В большинстве учебников иррационально число определяется как бесконечная непериодическая десятичная дробь (по Вейерштрассу). При этом возникают следующие вопросы: «Каким образом можно ввести действия над бесконечными десятичными дробями?» «Можно ли бесконечные десятичные дроби складывать вычитать, умножать и делить точно так же, как это делается с конечными десятичными дробями?» Нетрудно понять, что нельзя. При сложении конечных дробей существенно используется тот факт, что они являются конечными. Именно поэтому становится возможны выполнение действия сложения с конца: вначале складываются единицы самого меньшего разряда, затем более старшего и т. д. Вести сложение в обратном порядке невозможно по той причине, что нельзя реализовать сам принцип позиционной записи числа: десять единиц одного разряда дают одну единицу предыдущего разряда. Возникает учебная проблема: что следует понимать под суммой двух бесконечных десятичных дробей? Разъяснить арифметический смысл действий над бесконечными десятичными дробями не так просто (это будет сделано несколько позднее). Проще показать их геометрический смысл. Можно построить два отрезка, длины которых равны корень из 2 и 3 затем последовательно отложить эти отрезки на одной прямой. В результате получится новый отрезок, длина которого равна корень из 2 + корень из 3.

16. Функции вида у=│х│, │х│+│y│=1, │у—1│=│х│+х, и т.д.

Функции и уравнения вида у=│х│, │х│+│y│=1, │у—1│=│х│+х, у=│х│+│2х — 1│—│2 —3│х+4х, графики которых — ломаные, являются универсальным материалом для реализации идеи интеграции алгебраического и геометрического материала для развивающего обучения математике. Ломаная (как график уравнения или функции) позволяет в опережающем плане систематически учить школьников свободному чтению координатной плоскости. Ломаным (как графикам) должно быть уделено особое внимание еще и потому, что при их помощи мы. Всегда приближаемся к пониманию свойств графиков любых функций и уравнений. Общий план системного изучения свойств функций и их применения к исследовательскому анализу уравнений, не равенств и их систем выглядит следующим образом: рассматривается какая-либо задача, решение которой сводится к применению свойств неизвестной ученикам функций; устанавливается область определения функции, дается название новой функции; составляется таблица ее значений или составляются таблицы значений функций, произведением (частным) или суммой которых является новая для учащихся функция; на основании аккуратных инструментальных изображений ученики высказывают предположения о свойствах новой для них функции (график прямая, например, убывает, возрастает, положительная, отрицательная, наибольшее значение, наименьшее значение, нули функции и т.п.); часть из обнаруженных свойств обосновывается, часть из этих предполагаемых свойств остается без доказательства или будет доказана потом; сравниваются свойства новой функции со свойствами функций, которые были ранее изучены; ставятся вопросы по полученному графику; ставятся вопросы о возможности представления в виде ) произведения новой функции (алгебраической суммы) ранее известных ученикам функций; решаются уравнения и неравенства на применение свойств новой функции; решаются комбинированные уравнения и неравенства. Важнейшим и наиболее результативным средством для реализации системного подхода при изучении функционального материала являются развивающие упражнения, которые позволяют организовать коллективный исследователь- анализ задачи. Каждый ученик выполняет при этом посильную ему подзадачу на основе оптимального применения известного ему теоретического материала и своего практического опыта использования методов исследователь) анализа задач. Например, работу над задачей: определить число корней уравнения 8соsх+6sin3х=соs2х+7 (1) на промежутке [О; 2пи) методически целесообразно организовать следующим образом: на отрезке [О; 2пи] изображаются графики функций F(х) =8соsх, Р(х) =6sin3х , М(х)=соs2х+7 (для получения первоначальных гипотез и обсуждения плана поэтапных действий); каждый ученик самостоятельно определяет некоторые подмножества промежутка [О; 2пи), КОТОРЫМ не принадлежат корни этого уравнения; определяются промежутки, которым принадлежит по крайней мере один корень этого уравнения; путем локализации математической ситуации определяются промежутки, которые имеют только по одному корню данного уравнения. Такая работа над этой задачей позволяет ученикам использовать в различных комбинациях все известные им формульные и *качественны свойства тригонометрических функций. Исследование только одного такого уравнения на порядок полезнее тождественных преобразований десятков тригонометрических выражений и тригонометрических уравнений по традиционной школьной методике корни х1 = 0, х2 = 0,5 ученики обнаруживают сразу; относительно просто доказывается, что промежуток (0,5пи; 2пи) не содержит корень; сложная ситуация на промежутке (0; 0,5пи) может стать более простой после таких преобразований:

8соsх+6sin3х=2соs2х+6, 4соsх+3sin3х=4—sin2х, sin2х(3sinх+1)=4(1—соsх), соs2х0,5(3sinx+1)=2, (1+соsх)(3sinх+1)=4, 3sinх+1,5sin2х+соsх=3; левая часть последнего уравнения есть сумма трех выпуклых на промежутке (0; 0,5пи) функций; при х = пи/3 левая часть этого уравнения больше 3. Получаем ответ: На промежутке [О; 2пи) данное уравнение имеет три корня: 0; 0,5пи; 0 <х3 <пи/3. Основа системного подхода при изучении методического блока ФУН — это комплексы достаточно содержательных (познавательных) задач. Упражнения на прямое применение математической теории должны занимать очень скромное место в общей системе обучающих задач, реализующей идею развивающего обучения математике.