16.Простейшие понятия устойчивости линейных систем.

Под устойчивостью понимается способность динамич систем возвращаться в исходное установившееся состояние после снятия внешних воздействий(возмущений).Уст-внутреннее св-во сист,не зависит от вида и точки внесения возмущ.Зависит от парам системы.

Для дин систем,описываемых лин диф ур-м,устойчивость можно оценить по корням хар уравнения.

yсв(t)=C_ie^r_i^t,где r_i=α jw- корни хар ур, м.б. комплексными, мнимыми, действительными.

Необходимое и достаточное условие устойчивости: Все вещественные корни хар ур должны быть отрицательными,а комплексные имели отрицательные вещественные части.

Система устойчива-если все корни её хар ур расположены в левой полуплоскости (слева от мнимой оси).Если среди корней хар ур имеется один нулевой,а все остальные расположены в левой полуплоскости,свободное движение системы с теч времени также прекращается. Такие системы называют нейтрально-устойчивыми. Если среди корней хар ур имеются 2 чисто мнимых корня, а все остальные находятся в левой полуплоскости, система находится на границе утойчивости.

В послед 2х случ речь идет только об одном нулевом корне или об одной паре мнимых корней. Если 2 нулевых или 2пары одинаковых мнимых корней- система будет неустойчивой.

Процессы колебательные при комплексных корнях,и монотонные-при действительных корнях.

Литература: Ротач с.106-107,Сабанин с 109-111

17. Устойчивость и корни характеристического уравнения. Устойчивость линеаризованных систем.

Наличие замкнутых контуров в системах управления с обратными связями приводит к тому, что при определенных условиях они могут потерять устойчивость.В случае нелинейных систем понятие устойчивости относится к движениям, котрые может совершать система. Однако для линейных систем понятие устойчивости упрощается и можно говорить об устойчивых и неустойчивых системах. Важно подчеркнуть, что устойчивость линейных линейных систем – это внутреннее их свойство, не зависящее от действующих на них возмущений. Допустим, что на систему действует некоторое входное воздействие произвольного вида, которое, естественно, вызывает определенную ее реакцию, в частности, приводит к изменению выходной величины. Устойчивая система – это система, которая после устранения указанного воздействия прекращает движение и самостоятельно приходит к некоторому установившемуся стабильному состоянию. Соответственно, тестом на устойчивость удобно выбрать импульсную переходную характеристику системы.

Импульсная переходная характеристика определяется общей формулой w(t)=C₁exp(s₁t)+C₂exp(s₂t)…+C_nexp(s_nt), (1)

где s₁, s₂,…, s_n–корни характеристического уравнения системы:

Sⁿ+a₁s^n-1+a₂s^n-2+…+a_n-1s+a₀=0; (2)

С₁, С₂, … , С_n – постоянныечисла.

Формула действительна при различных значениях всех корней.

Из (1) следует, что необходимое и достаточное условие устойчивости системы состоит в том, чтобы все вещественные корни характеристического уравнения были отрицательными, а комплексные имели отрицательные части. В этом случае импульсная переходная характеристика с течением времени будет стремиться к нулю.

Г рафически корни характеристического уравнения изображаются точками на комплексной плоскости (рис.1), поэтому приведенное определение может быть сформулировано по-иному: система устойчива, если все корни ее характеристического уравнения расположены в левой полуплоскости комплексной плоскости (слева от мнимой оси).

Если среди корней характеристического уравнения имеется один нулевой, а все остальные расположены в левой полуплоскости, свободное движение свободное движение системы с течением времени прекращается, такие системы часто называют нейтрально-устойчивыми. Если среди корней характеристического уравнения имеются два чисто мнимых корня, а все остальные находятся в левой полуплоскости, система находится на границе устойчивости.

Система, характеристическое уравнение которой имеет два нулевых или две пары одинаковых мнимых корней, будет уже неустойчивой. Это утверждение следует из того, что нулевому корню двойной кратности соответствует компонента решения уравнения (1) в виде С₁+С₂t, а паре чисто мнимых корней двойной кратности – компонента решения (С₁+С₂t)cosw₀t+(C₃+C₄t)sinw₀t.

Отсюда следут, что для суждения об устойчивости системы нет необходимости вычислять корни характеристического уравнения, достаточно только определить, все ли они расположены слева от мнимой оси комплексной плоскости.

Использованная литература:

1. Ротач стр. 106,107