Вопросы_по_мат_анализу_ST_экз_2013-14(все)

Математический анализ (II семестр 2013-14)

Вопросы для подготовки к экзамену по математическому анализу

I курс. Экономика

Определенный интеграл

1.Понятие определенного интеграла.

2.Теорема об интегрируемости функции на отрезке (условие интегрируемости).

3.Суммы Дарбу.

4.Свойства определенного интеграла.

5.Теорема о среднем. (2)

6.Формула Ньютона-Лейбница. (2)

7.Замена переменных в определенном интеграле.

8.Понятие несобственного интеграла 1-го рода.

9.Теоремы сравнения для несобственного интеграла 1-го рода (формулировки

2-х теорем, доказательство 1-й теоремы во 2-й части экзамена)

Функции нескольких переменных (ФНП)

10.Понятие n-мерного евклидова пространства Rn .

11.Понятие -окрестности точки x в пространстве Rn , R 2 .

12.Определение функции нескольких переменных (ФНП).

13.Предел функции z f x, y в точке.

14.График функции 2-х переменных.

15.Непрерывная ФНП a. в точке;

b. в замкнутой области.

16.Полное и частное приращением функции 2-х переменных.

17.Определение частной производной 1-го порядка функции 2-х переменных.

18.Геометрический смысл частной производной 1-го порядка.

19.Понятие дифференцируемой ФНП (для 2-х переменных).

20.Понятия

a.полного дифференциала функции 2-х переменных;

b.частного дифференциала функции 2-х переменных.

21.Частные производные 2-го порядка.

22.Понятие дифференциала 2-го порядка.

23.Определение точки локального экстремума и локального экстремума функции 2-х переменных. Геометрическая интерпретация.

24.Необходимое условие локального экстремума. (2)

Алексеева Т.А.

Математический анализ (II семестр 2013-14)

Элементы теории поля

25.Определения скалярного поля, виды скалярных полей.

26.Линии уровня и поверхности уровня. Карта линий уровня, привести пример?

27.Производная по направлению в точке M (для функции 2-х и 3-х переменных). Формула для вычисления производной по направлению (для функции 2-х и 3-х переменных). (2 доказательство для случая 2-х переменных)

28.Градиент скалярного поля (функции). Связь с производной по направлению.

(2) Связь с максимальной скоростью изменения поля в точке.

Двойные интегралы

29.Построение интегральной суммы для функции 2-х переменных z f x, y .

30.Определение двойного интеграла

31.Геометрический смысл двойного интеграла.

32.Свойства двойного интеграла (любые 3).

33.Достаточные условие интегрируемости.

34.Формула для вычисления двойного интеграла (сведение к повторному интегралу для функции z f x, y в прямоугольной области (в области

D a x b, c y d ) (2).

35.Формула для вычисления двойного интеграла (сведение к повторному

интегралу для функции z f x, y в криволинейной области по y (в области

D a x b, 1 x y 2 x ) (2).

36. Формула для вычисления двойного интеграла (сведение к повторному интегралу для функции z f x, y в криволинейной области по x (в области

D 1 y x 2 y ,c y d ) (2).

37. Формулы для вычисления площади криволинейной области с помощью двойного интеграла.

Числовые ряды

38.Понятие числового ряда (ч.р.)

39.Понятия сходящегося и расходящегося ч.р.

40.Докажите, что геометрическая прогрессия an a1qn 1 a1 0 сходится при q 1. (2)

41.Докажите, что геометрическая прогрессия an a1qn 1 a1 0 расходится при q 1 (2)

42.Докажите, что отбрасывание конечного числа членов ч.р. не влияет на его сходимость (2)

Алексеева Т.А.

Математический анализ (II семестр 2013-14)

43.Докажите, что при умножении сходящегося ч.р. на любое число получается сходящийся ч.р. (2)

44.Докажите, что сумма сходящихся ч.р. есть сходящийся ч.р. (показать для 2-

х ч.р.) (2)

45.Докажите необходимое условие сходимости ч.р.. Приведите пример,

показывающий, что условие lim an 0 не является достаточным для сходимости

n

ч.р. an . (2)

n1

46.Общая формула обобщенного гармонического ряда. Докажите условие его

сходимости. (2)

47.Общая формула обобщенного гармонического ряда. Докажите условие его расходимости. (2)

48.Первый признак сравнения ч.р. (2)

49.Признак сравнения ч.р. в предельной форме (второй признак сравнения). (2)

50.Признак Даламбера. (2)

51.Радикальный признак Коши.

52.Интегральный признак сходимости ч.р.

53.Понятия знакопеременного и знакочередующегося ряда. Приведите примеры.

54.Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ч.р. (2)

55.Абсолютно и условно сходящиеся ряды.

Функциональные ряды (ф.р.). Степенные ряды (с.р.)

56.Функциональный ряд (ф.р.) и область его сходимости

57.Мажорируемые и мажорирующие ряды.

58.Признак Вейерштрасса сходимости ф.р. (2).

59.Понятие степенного ряда (с.р.)

60.Теорема Абеля о сходимости с.р. (2)

61.Радиус сходимости и интервал сходимости с.р.

62.Теорема о мажорируемости с.р. внутри интервала сходимости. (2).

63.Интегрирование и дифференцирование с.р.

64.Теорема об интервале сходимости ряда, полученного почленным дифференцированием с.р.

65.Ряд Тейлора, ряд Маклорена, остаточный член.

66.Теорема о единственности разложения функции в с.р. (2)

67. Разложение в с.р. функции основных элементарных функций a. y e x ;

b. y sin x , y cosx c. и др.

Алексеева Т.А.

Математический анализ (II семестр 2013-14)

68.Необходимое и достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора. (2)

Ряды Фурье

69.Понятие тригонометрического ряда. Указать свойства.

70.Ортогональная система функций для тригонометрического ряда. (2)

71.Понятие функции, удовлетворяющей условиям Дирихле.

72.Теорема Дирихле.

73.Коэффициенты Фурье для четной функции. (2)

74.Коэффициенты Фурье для нечетной функции. (2)

75.Ряд Фурье для функций с периодом 2l. (2)

Дифференциальные уравнения (ДУ)

76.Понятия ДУ n-го порядка, ДУ 1-го порядка (ДУ-1) и решения ДУ.

77.Теорема существования и единственности для ДУ-1 (теорема Коши).

78.Общее и частное решение ДУ-1. Геометрическая интерпретация.

79.Уравнения с разделяющимися переменными. Общее решение.

80.Однородные ДУ-1. Замена.

81.Линейные уравнения 1-го порядка. Общее решение.

82.Метод вариации произвольной постоянной (2).

83.Уравнение Бернулли. Замена. Особые случаи.

84.Уравнение в полных дифференциалах (определение+2).

85.Понятие ДУ 2-го порядка. Понятие общего и частного решения ДУ-2.

86.Теорема существования и единственности для ДУ-2 (теорема Коши).

87.Понятие линейного ДУ-2 (однородное и неоднородное).

88.Теорема о линейной комбинации решений линейного однородного ДУ-2.

89.Понятие фундаментальной системы решений.

90.Теорема о структуре общего решения линейного однородного ДУ-2. (2)

91.Линейное однородное ДУ-2 с постоянными коэффициентами. Формула общего решения для различных случаев корней характеристического уравнения.

92.Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного ДУ-2. (2 с

доказательством)

93.Вид частного решения линейного неоднородного ДУ-2 с постоянными коэффициентами для специальных правых частей ДУ (2 случая).

!!! Вопросы, отмеченные (2), могут войти как в I часть экзамена (определения и формулировки), так и во II часть (доказательство теорем)

Алексеева Т.А.