11. Преобразование и ряды Фурье. Частотные характеристики и их связь с временными характеристиками и передаточной функцией. Ротач 2004 с. 64, Сабанин с. 32

Любая (с несущественными для практики ограничениями) функция времени может быть представлена суммой соответствующим образом подобранных гармонических колебаний вида:

Где - угловая частота колебаний; Т - период колебаний; А и φ - соответственно амплитуда и начальная фаза колебаний, определяемые формулами:

Д ействительно, пусть функция x(t), которую мы хотим представить суммой гармоник, имеет некоторый произвольный вид, например такой, как показано на рис. 2.13, а. Выберем некоторый отрезок времени T₀ и построим новую периодическую функцию x(t) с периодом T₀ (рис. 2.13, б), которая совпадала бы с x(t) на отрезке -Т₀/2 < t < Т₀/2. Эта периодическая функция, если она удовлетворяет условию:

может быть представлена рядом Фурье, т.е. суммой гармоник с частотами ω₀, 2ω₀, Зω₀, кратными частоте ω = 2π/Т₀:

Коэффициенты ряда определяются по формулам:

Ряд может быть также представлен следующим образом:

где А_к и φ_к — амплитуда и начальная фаза k-й гармоники.

Совокупность чисел А_к и φ_к (k = 1, 2, 3 ...) называют амплитудным и фазовым

спектрами функции , а разложение этой функции в ряд Фурье — спектральным разложением.

Формулы для ряда Фурье и его коэффициентов получают значительно более компактный вид, если воспользоваться известными формулами Эйлера:

После подстановки получим:

Комплексное число полностью определяет k-ю гармонику разложения; оно

связано с ее амплитудой и начальной фазой соотношением:

Для того чтобы получить разложение на гармоники исходной непериодической функции x(t), следует в полученных формулах устремить T₀ к бесконечности. Но так как при этом амплитуды гармоник стремятся к нулю, то перед выполнением указанного перехода вводят новые комплексные коэффициенты разложения:

Это приводит к видоизменению записи ряда:

или с учетом того, что разность частот соседних гармоник

Если теперь устремить T₀ к бесконечности, то получим

Эти формулы определяют функциональное преобразование Фурье: первая позволяет для функции вещественной переменной (оригинала) x(t) найти ее фурье-изображёние , вторая дает возможность по изображению найти оригинал.

Изображение представляет собой комплексную функцию частоты; ее модуль | | определяет распределение по частотам амплитуд гармоник в разложении функции x(t).

Комплексную функцию частоты W(jω), получаемую из передаточной функции системы W(s) заменой s на jω, называют комплексной частотной характеристикой (КЧХ) системы.

Комплексная частотная характеристика может быть представлена как в виде суммы ее вещественной и мнимой составляющих:

так и в показательном виде:

где А(ω) и φ(ω) — модуль и аргумент КЧХ, они связаны с вещественной P(ω) я мнимой Q(ω) характеристиками, обычными соотношениями:

Зависимость от частоты отношения амплитуды выходных колеба­ний к амплитуде входных колебаний называется амплитудной частот­ной характеристикой (АЧХ), а зависимость от частоты фазового сдвига колебаний на выходе называется фазовой частотной характеристикой (ФЧХ).