8. Дифференциальные уравнения динамических систем, их составление, линеаризация и решение.

ДУ являются уравнениями математической физики, которые предназначены для описания естественных физических, тепловых и химических процессов в природе технологических процессов в технике.

Общие методы решения имеют лишь линейные ДУ, поэтому в ТАУ в основном используются именно они. Вид ЛДУ:

T – коэф. постоянной времени, - коэф. передачи, связывающий размерности и .

Для применения класс. методов анализа динамических систем, представленных нелинейными ДУ мат. физики, требуется их линеаризация, выполненная по методу «малых отклонений». Т.е. линеаризуемая ф-я в окрестности точки исследуемого равновесного состояния системы представляется рядом Тейлора, причем в разложении ограничиваются только линейными членами.

В геометрической интерпретации линеаризация соответствует замене истинного графика линеаризуемой функции касательной, проведенной в точке исследуемого равновесного состояния.

Методы решения ЛДУ:

1. Классический метод.

Решение имеет вид , где – общее решение однородного ДУ, – частное решение. Общее решение имеет вид , где - корни уравнения

2. Операционный метод.

Порядок решения:

1.Преобразовать ДУ по Лапласу;

2.Для заданного оригинала определить изображение входа ;

3.Записать выражение для выходной величины ;

4.Определить оригинал .

В общем случае ,

.

следует представить суммой простых дробей:

где, корни уравнения, коэффициенты.

Действительному корню кратности соответствует простых дробей вида

3. Символьное и численное решение с использованием математических пакетов Mathcad, MATLAB и др.

9. Преобразование Лапласа. Основы операционного исчисления. Понятие передаточной функции.

,

где изображение , –функция оригинал; s (оператор Лапалса);

Операционный метод.

Порядок решения:

1.Преобразовать ДУ по Лапласу;

2.Для заданного оригинала определить изображение входа ;

3.Записать выражение для выходной величины ;

4.Определить оригинал .

В общем случае ,

.

следует представить суммой простых дробей:

где, корни уравнения, коэффициенты.

Действительному корню кратности соответствует простых дробей вида

Передаточная ф-ция линейной системы W(s):

W(s)=

Передаточная функция - характеристикака, представляющ. собой преобразование Лапласа импульсной хар-ки системы; отношение преобразованных по Лапласу при нулевых н.у. выхода ко входу:

W(s)=Y(s)/X(s).

X(s) - вх.воздействие.

10. Временные характеристики динамических систем. Интеграл свертки и его применение при анализе динамики разомкнутых и замкнутых систем.

Т иповые входные воздействия:

1. Ступенчатое воздействие

2. Импульсное воздействие – дельта импульс за беск малый промежуток времени с беск большой амплитудой (производная от ступенчатой функции).

.

Свойства

3. Синусоидальное воздействие.

Переходная характеристика – реакция системы на единичное ступенчатое воздействие ( )

Импульсная характеристика – реакция системы на делтьа-имп. возд. ( )

Связь импульсной и переходной характеристик:

Интеграл свертки позволяет по известной переходной характеристике или импульсной характеристике рассчитать реакцию динамической системы (переходный процесс) на заданное входное воздействие .

Основываясь на принципе суперпозиции и знании переходных характеристик, можно получить реакцию линейной динамической системы на произвольное

Разложение произв. воздействия на сумму ступенчатых возд.

воздействие , которое может быть заменено суммой ступенчатых воздействий, каждое из которых сдвинуто отн. начала координат на величину

Тогда

Приближенное разложение и становится точным после предельного перехода при . В результате: