37. Свойства корреляционной функции стационарных случайных процессов

Корреляционная функция – детерминированная функция двух переменных (времени и сдвига во времени ), значение которой для каждой пары переменных и равно корреляционному моменту двух сечений случайного процесса при и при . Корреляционная функция определяет вероятностную взаимосвязь указанных двух сечений случайного процесса. Свойства корр. функции:

1. 

при

2. Четность

.

3. Спектральная плотность – изображение по Фурье корреляционной функции

38. Понятие спектральной плотности и ее свойства (лекции + 182 Ротач)

Изображения по Фурье корреляцинонной функции называется спектральная плотность:

Свойства:

1. Физические смысл – предел дисперсии случайного процессы, приходящийся на интервал w+∆w, к значению этого интеграла:

=

= 2

В силу четности R_x(t) спектральная плотность –вещественная неотрицательная фукнция частоты.

Типичная форма S_x(w):

2. 

3. 

4. 

39. Преобразование случайных процессов линейными динамическими системами. Мат. ожидание выхода системы. Взаимная спектральная плотность входа и выхода системы. Спектральная плотность выхода. (179, 180, 183, 185, 156 Ротач)

1. Преобразование случайных процессов линейными динамическими системами:

Заданы вероятностные характеристики входного случайного процесса(СП) m_x, R_x( )и система w( ). Найти вероятностные характеристики выходного СП m_x, R_x( ), D_у

2. Математическое ожидание выхода системы:

Выходный сигнал при произвольном воздействии определяется интегралномсвертки:

Оценка математического ожидания выхода

Или после смены порядка интегрирования

=h_уст

Где h_уст = _установившееся значение переходной характеристики системы

_ оценка математического ожидания входного воздействия.

При T : m_y = h_устm_x = km_x

k – коэффициент передачи звена

3. Взаимная спектральная плотность входа и выхода системы Sxy(jw):

Подставив в формулу взаимной корреляционной функции интеграл свертки, получим:

ř_xy( )= .

После смены порядка интегрирования имеет вид:

ř_xy( ) = ř_xx( )

Переходя от оценок к самим корреляционным функциям:

r_xy( )= (*)

Использование преобразования Фурье позволяеттакже существенно упростить определение взаимной корреляционной функции СП на входе в линейную динамическую систему и выходе из нее. Применив к(*) это преобразование, получим:

S_xy(iω)=W(iω)·S_xx(iω);

где S_xy(iω)= .

Фурье-изображение взаимной корреляционной функции 2-х случайных процессов – взаимная спектральная плотность мощности 2-х случайных процессов.

S^-_xy(s) и S⁺_xy(s) для S_xy(s) не равны друг другу.Взаимная спектральная плотность является комплексной функцией частоты. Если поменять знак:

S_xy(iω)= , тоS_xy(iω)= S_yх(-iω).

4. Спектральная плотность выхода Sy(w):

Определение спектральной плотности выходногосигнала:

S_yy(s)= _yy­()∙e^–s∙d.

После подстановки () в S_yy(s), получим

S_yy(s)= ^–s∙d (ξ)dξ∙ (η)∙ (+ξ–η)dη.

Представим e^–s∙= e^{–s∙(+ξ–η)}∙e^s∙ξ∙e^–s∙η.

При этом

S_yy(s)= (ξ)∙e^sξdξ∙ (η)∙e^–s∙ηdη∙ (+ξ–η)∙e^{–s∙(+ξ–η)}d(+ξ–η).d(+ξ–η)

Здесь:

• (ξ)∙e^sξdξ=W(–s);

• (η)∙e^–s∙ηdη=W(s);

• (+ξ–η)∙e^{–s∙(+ξ–η)}d(+ξ–η)=S_xx(s).

Таким образом: S_yy(s)=W(–s)∙W(–s)∙S_xx(s)

Или после замены s = iw: S_yy(w)=lW(–iw)l²∙S_xx(iw)