9. Матричная форма записи метода узловых потенциалов

Уравнение для узловых потенциалов выводят из уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для исследуемой схемы.

Подставив в матричное уравнение (3.15) матрицу I из (3.11). получим

(3.25)

Уравнение (3.12) с учётом (3.10) может быть записано в такой форме

(3.26)

Можно показать, что с помощью транспонированной узловой матрицы А^Т, матрица напряжений ветвей схемы U^B может быть выражена через матрицу потенциалов узлов  в таком виде

(3.27)

где  - столбовая матрица потенциалов узлов схемы.

Уравнение (3.26). переписанное относительно матрицы U и с учётом (3.27). запишем так

(3.28)

Теперь уравнение (3.25) с учётом (3.28) примет вид

(3.29)

Произведение матриц АG^ВА^Т даёт матрицу узловых проводимостей G^У, а правая часть уравнения (3.29) представляет собой матрицу узловых токов J^У. Теперь уравнение (3.29) примет вид

(3.30)

При составлении матрицы G^У следует учесть, что g_ii > 0, g_ik < 0 (см. уравнение 1.17).

Уравнения (3.28) и (3.29) являются узловыми уравнениями в матричной форме.

Матрицы уравнения (3.29) наиболее простые для составления, поэтому для ввода матриц в ЭВМ пользуются именно этим уравнением.

После решения уравнения (3.29) на ЭВМ относительно потенциалов , решается уравнение (3.27) относительно U^B, далее (3.28) относительно U и (3.11) относительно I.

Перечисленные матрицы выводятся в качестве выходных данных.

10.Преобразование пассивного треугольника сопротивлений в звезду и обратно

Рассмотрим преобразование схем, в которых резисторы соединены в эквивалентные треугольник (рис. 2.5 а) и звезду (рис. 2.5 б).

Как отмечалось выше, условие эквивалентности двух схем сводится к равенству токов протекающих к узлам 1, 2, 3 треугольника и к соответствующим точкам звезды – это токи I₁, I₂, I₃, а также к равенству напряжений между этими же точками.

Запишем напряжение U₂₁ для треугольника и звезды при условии I₂ = 0; I₃ = - I₁.

В треугольнике по сопротивлению R₁₂ протекает ток , являющийся частью тока I₃ (так как I₂ = 0), который мы найдем по формуле «разброса токов»

(2.3)

Отсюда напряжение

(2.4)

Это же напряжение для эквивалентной звезды (с учетом I₂ = 0)

; ; ; . (2.5)

Приравнивая (2.4) и (2.5), получим

(2.6)

Аналогично (2.6) можно записать

(2.7)

(2.8)

Формулы (2.6), (2.7) и (2.8) позволяют по известным сопротивлениям исходного треугольника получить сопротивления лучей эквивалентной звезды.

При обратном преобразовании, если за исходную схему берем трёхлучевую звезду, то сопротивления эквивалентного треугольника получим, решая совместно уравнения (2.6), (2.7) и (2.8) относительно неизвестных параметров треугольника

; (2.9); (2.10)

; (2.11)

Обратите внимание на известную мнемонику формул (2.6) – (2.11), позволяющую довольно просто их запомнить. Например, сопротивление R₁ по (2.6) для эквивалентной звезды получаем как произведение сопротивлений R₁₂ и R₃₁, подключенных к 1 узлу треугольника, деленное на сумму всех его сопротивлений.

Сопротивление, например, R₁₂ по (2.9) получается как сумма сопротивлений R₁ и R₂ (обратите внимание на их индексы) и сопротивления R₁R₂/R₃ (внимание на индексы).

1 1. Преобразование параллельных ветвей с источниками ЭДС и тока

Если сложная электрическая схема содержит некоторое количество ветвей с источниками ЭДС или тока, соединенных параллельно, то расчет такой схемы может быть существенно облегчен путем замены параллельных ветвей одной ветвью с эквивалентными сопротивлением и ЭДС или эквивалентным источником тока. Проиллюстрируем сказанное на примере схемы, приведенной на рис. 2.7.

На схеме рис. 2.7 а между точками 1 и 2 подключены две ветви с источниками ЭДС E₁ и E₂ и сопротивлениями R₁ и R₂. К этим же точкам подключен источник тока J₃. Требуется заменить часть схемы слева от точек 1 и 2 на эквивалентную с источником ЭДС Е и внутренним сопротивлением R, как на рис. 2.7 б, либо на схему с источником тока J^У и внутренним сопротивлением R, как на рис. 2.8.

Условием эквивалентности является одинаковая для всех трех схем мощность, выделяющаяся на R_Н. Для этого необходимо, чтобы при заданном R_Н напряжение U и ток I в нём оставались неизменными. Для схемы рис. 2.7 а по первому закону Кирхгофа запишем

. (2.12)

или, используя обобщенный закон Ома,

(2.13)

где ; ; .

В схеме рис. 2.76 ток

(2.14)

В схеме рис. 2.8 ток (2.15)

где J^У – эквивалентный источник тока.

Так как условия эквивалентности должны выполняться при любых напряжениях U и токах I, то приравнивая правые части (2.13) и (2.14), а также (2.13) и (2.15), получим

;

.

И з последних уравнений следует

; (2.16)

(2.17)

. (2.18)

Обратим внимание на то, что эквивалентная проводимость g является суммой проводимостей всех ветвей независимо от того, есть или нет в данной ветви ЭДС. Исключение составляет источник тока J₃ – проводимость этого участка цепи равна нулю и может не учитываться при подсчете проводимости g. Так как сопротивление идеального источника тока равно бесконечности, то сопротивление R₃, соединенное последовательно с J₃, не меняет величину сопротивления, а значит, и проводимости ветви источника тока. Вместе с тем, значение эквивалентной ЭДС Е, как и эквивалентного источника тока J^У, зависят от величин ЭДС Е₁ и Е₂ и тока J₃.

П равило знаков получим из (2.17) и (2.18). Если стрелки источников ЭДС и источников тока направлены так же как стрелки эквивалентных Е и J^У, т. е. к точке 1 (см. рис. 2.7 а), то берут соответствующие слагаемые со знаком плюс. В нашем случае это Е₁ и J₃. Для ветви с Е₂ знак противоположный.