21. Изображение синусоидальных функций времени векторами и комплексными числами на комплексной плоскости

Расчёт цепей переменного тока облегчается, если изображать синусоидально изменяющиеся токи и напряжения, ЭДС и т. д. векторами или комплексными числами. На рис. 4.6 показана комплексная плоскость, на которой можно изобразить комплексные числа. Комплексное число имеет действительную (вещественную) и мнимую части. По оси абсцисс комплексной плоскости будем откладывать действительную часть комплексного числа, а по оси ординат – мнимую часть. На положительной полуоси действительных значений ставим +1, а на положительной полуоси мнимых значений - + j

Из курса математики известна формула Эйлера

где е – основание натуральных логарифмов. Комплексное число е^ja изображают на комплексной плоскости вектором, составляющим угол а с осью вещественных значении (осью +1). Угол а отсчитываем против часовой стрелки от оси +1, если он положительный и по направлению часовой стрелки от оси +1, если отрицательный. Модуль функции е^ja (длина вектора) равен единице.

Действительно . Проекция функции е^ja на ось + 1 равна cos a, а на ось + j равна sin a. Если вместо функции е^ja взять функцию I_mе^ja, то

На комплексной плоскости эта функция так же, как и функция е^ja, изобразится вектором, направленным под углом а к оси +1, но величина вектора (модуль) будет в I_m раз больше (рис. 4.7). Угол а может быть любым. Комплексное число может иметь насколько форм записи:

– показательная форма записи;

–тригонометрическая форма записи;

– алгебраическая форма записи,

где –проекция вектора I_m на действительную ось; – проекция вектора I_m на мнимую ось.

Положим, что а = t + , т. е. угол а изменяется прямо пропорционально времени. Тогда (рис. 4.7)

Слагаемое представляет собой действительную часть (Re) выражения

а функция есть коэффициент при мнимой части (J_m) выражения , т. е.

Иными словами току i соответствует комплекс , т. е.

Таким образом синусоидально изменяющийся ток i(t) можно представить как проекцию вращающегося со скоростью  вектора на ось +j.

Заметим также, что

Две комплексные величины, имеющие равные модули и равные, но противоположные по знаку аргументы, называют сопряженными и обозначаются в виде комплекса со звездочкой (см. рис. 4.8).

С целью единообразия принято на комплексной плоскости изображать векторы синусоидально изменяющихся во времени величин для момента времени t = 0, т. е. t = 0. При этом вектор

равен где - комплексная величина; модуль ее равен а угол, под которым вектор проведён к оси +1 на комплексной плоскости, равен начальной фазе ;  – является аргументом комплексного числа

Величину называют комплексной амплитудой тока i.

Рассмотрим два числовых примера на переход от мгновенного значения тока к комплексной амплитуде и от комплексной амплитуды к мгновенному значению.