Разложение трехфазной несимметричной системы векторов на три трехфазные симметричные системы векторов

Пусть задана несимметричная трехфазная система на­пряжений .Надо показать, что каждое из задан­ных напряжений можно выразить через составляющие сим­метричных систем прямой, обратной и нулевой последова­тельностей:

(10.1)

Для доказательства (10.1) учтем, что , , , , , тогда:

(10.2)

Суммируя левые и правые части (10.2) и учитывая, что 1+а+а² = 0, получим (10.3)

Умножив второе и третье равенство (10.2) соответствен­но на а и а² , просуммировав левые и

правые части и, учитывая, что а³ =1,а⁴ = а, получим

Умножим второе и третье равенство (10.2) соответственно на а² и а и просуммировав левые и правые части, получим

(10.5)

Таким образом, по уравнениям (10.3), (10.4), (10.5) на­ходим составляющие

напряжения фазы А, а составляющие напряжений и легко находятся через

составляющие напряжения и фазный множитель .

48. Применение метода симметричных сосгавляющих для расчета трехфазной цепи с несимметричной системой эдс генератора

Рассмотрим случай, когда сопротивлония симметричной трехфазной цепи, подключенной к генератору с несиммет­ричной системой ЭДС, .имеют разные значения для различных симметричных составляющих, но для каждой симмет­ричной составляющей ,в отдельности сопротивления цепи одинаковы. Пусть схема для этого случая имеет вид, пока­занный на рис. 10.4.

Исходными данными схемы являются:

несимметричная система фазных ЭДС генератора , сопротивления фаз

генератора для различных последовательностей; сопротивления фаз нагрузки для

различных последовательностей; сопротивление ну­левого провода. Необходимо определить

токи.

Рис. 10.4

Применяя формулы (10.3)—(10.5),найдем симметричные составляющие ЭДС фазы А генератора , по ко­торым через фазный множитель а найдем симметричные

составляющие для других фаз , , , , . Заменив ЭДС несиммет­ричного генератора тремя симметричными системами, приходим к схеме, показанной на рис. 10.5.

Рис. 10.5

Далее эта схема рассчитывается по методу наложения от действия каждой из симметричных

систем ЭДС (прямой, обратной и нулевой последовательности) в отдельности.

Для симметричной системы ЭДС прямой последователь­ности в схеме учитываются сопротивления фаз генератора н нагрузки такой же последовательности, т. е. схема будет иметь вид, показанный на рис. 10.6. Так как режим в этой схеме симметричен и ток , то расчет можно вести по схеме замещения в однофазном исполнении, представленной

Рис. 10.6

на рис.10.7. Из этой схемы находим , a для других фаз получим

,

Для симметричной системы ЭДС обратной последовательности поступаем аналогично и

получаем схему замещения,

Рис. 10.7 Рис.10.8

представленную на рис. 10.8, из которой ,

,

Для симметричной системы ЭДС нулевой последовательности схему замещения (рис. 10.9) необходимо ввести утроенное

Рис. 10.9 Рис. 10.10

сопротивление нейтрального провода , что o6условлено тем, что падение напряжения на равно ( ), где ток есть ток, в каждой из трех фаз цепи генератора (рис. 10.10) для симметричной системы ЭДС нулевой последовательности.

Из схемы замещения по рис. 10.9 определяем

Истинные токи в фазах исходной схемы будут

= + + ;

= + + ;

= + + ;

49–50. Применение метода симметричных составляющие для расчета трехфазной цепи с симметричным генератором при несимметрин нагрузки

Несимметрия нагрузки в трехфазных цепях обуславливается преимущественно аварийными режимами, таким как короткие замыкания одной или двух фаз на землю, короткие замыкания между фазами, обрыв одной фазы и др.Наиболее резкая несимметрия токов в трехфазной цепи возникает при коротких замыканиях, поэтому этот вид несимметрии, называемый поперечной неснмметрией, рассмотрим для наиболее часто встречающегося случая однофазного корот­кого замыкания на землю, показанного на схеме рис.10.15. Исходными данными этой схемы являются:

симметричная система ЭДС генератора прямой, последовательности ,

сопротивления различных последовательностей: генератора ; линии

; двигателя сопротивление заземления нейтрали . Надо рассчитать

ток короткого замыкания и токи в фазах двигателя. Для этого от исходной симметричной

схемы следует перейти к трем симметричным схемам, введя в место несимметрии тока

Рис. 10.15

по принципу компенсации неизвестную систему несим­метричных ЭДС и несимметричных токов , как что показано на рис. 10.16.

Рис. 10.16

На этом рисунке линия представлена сопротивлениями . Несимметричную систему ЭДС и токов разложим на симметричные составляющие по фор­мулам (10.3) — (10.5) и для каждой из последовательностей рассмотрим симметричную трехфазную схему. В схеме прямой nocледовательности имеются ЭДС генератора и ЭДС симметричных составляющих прямой последовательности , а также сопротивления прямой по­следовательности генератора , линии , двигателя и сопротивление нейтрального провода .Схема замещения прямой последовательности на одну фазу (на фазу А) пока­зана на рис. 10.17. Для этой схемы по методу узловых по­тенциалов найдем токи и , а через них найдем ток .

Рис. 10.17 Рис.10.18

(10.6)

В схеме обратной последовательности отсутствуют эдс ге­нератора и имеются ЭДС симметричных составляющих об­ратной последовательности ,имеются coпротивления обратной последовательности генератора , линии ,двигателя и сопротивление нейтрального провода .Схема замещения обратной последовательности на одну фазу (на фазу Л) показана на рис. 10.18. Для этой схемы

(10.7)

Рис. 10.19.

В схеме нулевой последовательности отсутствуют ЭДС генератора и имеются ЭДС

симметричных составляющих нулевой последовательности , имеются сопро­

тивления нулевой последовательности генератора , линии , двигателя и сопротивление нейтрального провода . Схема замещения нулевой последовательности па одну фа­зу (на фазу А) показана на рис. 10.19. Для этой схемы

(10.8)

' В полученных соотношениях (10.6) - (10.8) неизвестными являются шесть величин: . Для отыс­кания этих величин необходимо еще использовать три усло­вия, характеризующие вид несимметрии (они называются граничными условиями). Указанные условия берутся из схе­мы рис. 10.15 и схемы рис. 10.16 ; они очевидны:

Граничные условия позволяют найти соотношения между симметричными составляющими:

(10.9)

то есть (10.10) и (10.11)

Итак, соотпошения (10.6)—(10.11) позволяют определить неизвестные симметричные составляющие путем их совместного решения. Например, выражая соответст­венно из (10.6) - (10.8) и используя (10.9) - (10.11), найдем составляющую По найденной, составляющей из (10.6) - (10.8) соответственно найдем

Зная симметричные составляющие, найдем ток , равный току короткого замыкания . и токи в фазах двигателя

Ток в фазе А генератора можно определить теперь как

а напряжения между точкой b и землей , между точкой С и землей будут

На конкретном примере рассмотрим последовательность расчета методом симметричных

составляющих при продольной несимметрии нагрузки.