31. Резонанс напряжений в цепи r, l, с

Резонансом называется такой режим пассивной цепи, содержащей реактивные элементы, при котором реактивная составляющая ее входного сопротивления (входной проводимости) равна нулю. Ток на выходе цепи (если он не равен нулю) совпадает по фазе с напряжением на входе цепи.

Реактивные сопротивления (или проводимости) отдельных участков цепи могут иметь как положительное, так и отрицательное значение. В некоторых случаях происходит взаимная компенсация этих величин, и тогда говорят, что в рассматриваемой цепи наступил режим резонанса.

В цепи при последовательном соединении R, L, С возможен резонанс напряжений. Такую цель называют последовательным колебательным контуром. На рис. 7.6 а представлена эта цепь, а на рис. 7.6 б приведена векторная диаграмма цепи для случая резонанса напряжений.

Входное комплексное сопротивление данной цепи

где – реактивное сопротивление контура; R – активное и

– полное сопротивление (по модулю).

Угол сдвига фаз между приложенным напряжением, и токов запишется в виде .

Условие резонанса напряжений: х =0 при , .

Угловая резонансная частота .

Отметим, что режим резонанса может наступить и при изменении или индуктивности катушки или ёмкости конденсатора; в этом случае ; .

Условимся, что будем рассматривать случай изменения частоты источника питания.

Модуль тока в цепи при заданном напряжений С:

В режиме резонанса ток наибольший и равен

При резонансе ток совпадает по фазе с приложенным напряжением и это отмечено на векторной диаграмме (рис. 7.6 б).

Характеристическое сопротивление контура равно сопротивлению катушки индуктивности при резонансе или сопротивлению конденсатора при резонансе (учтем, что ):

;

.

Н а рис. 7.7 приведены частотные характеристики последовательного контура, кривые построены по формулам

; ; ; .

Кривая тока имеет максимум при резонансной частоте . Если (постоянная ЭДС), ток равен нулю, так как постоянный ток через конденсатор не проходит. Если , тогда и ток в цепи также стремится к нулю.

Напряжение на конденсаторе U_С при равно напряжению генератора U_Г. Затем, по мере возрастания тока, напряжение U_С вначале увеличивается, достигает максимума при частоте , а затем начинает уменьшаться. Максимум напряжения на конденсаторе наступает на частоте, которая меньше резонансной. Это можно показать и аналитически, для этого нужно определить максимум функции U_С = U_С() из уравнения dU_С/d = 0. При этом оказывается, что частота максимального напряжения на конденсаторе рассчитывается пo формуле

Напряжение на катушке индуктивности вначале возрастает, становится равным напряжению на конденсаторе при резонансе, затем достигает максимума на частоте более высокой, чем резонансная частота. Это же можно доказать аналитически, определив максимум функция U_L = U_L() из уравнения dU_L/d = 0.

Частота максимального напряжения на катушке индуктивности может быть рассчитана по формуле

Следует иметь в виду, что .

При неограниченном увеличении частоты U_L стремится к напряжению U_R.

Кривая определяет сдвиг по фазе между током и приложенным напряжением. При частотах, меньших резонансной, в цепи преобладает емкостное сопротивление и поэтому угол отрицательный, а после резонанса сопротивление L, больше, чем , и поэтому угол станет положительным.