7. Матричная форма записи законов Ома и Кирхгофа
Сначала введем понятие обобщенной ветви (рис. 3.3). Для нее можно записать по первому закону Кирхгофа
(3.6)
И по обобщенному закону Ома
(3.7)
Напряжение на резисторе ветви RВ по закону Ома
(3.8)
Или
для тока через проводимость ветви
(3.9)
Закон Ома в матричной форме
(3.10)
или
(3.11)
где U и I – столбцовые матрицы, число строк которых совпадает с числом ветвей схемы, а
и
причем k
равно числу ветвей схемы.
Например, для схемы рис. 3.1
а
Обобщенный закон Ома в матричной форме, исходя из (3.7), получим в виде
где U в и I в – столбцовые матрицы, число строк которых совпадает с числом ветвей схемы.
Для схемы рис. 3.1
Вводится понятие узловой матрицы [А].
Узловая матрица – это прямоугольная матрица, строки которой соответствуют узлам, а столбцы – ветвям направленного графа схемы.
Число строк матрицы равно числу независимых узлов. Элементы матрицы а ij, где (i – номер строки, j – номер столбца, принимают значения 1, – 1 или 0.
Элементы а ij = 1, если ветвь j соединена с узлом i и направлена от него.
Элементы а ij = - 1, если ветвь j соединена с узлом i и направлена k этому узлу. Элементы а ij = 0, если ветвь j не соединена с узлом i.
Например, в схеме рис. 3.1 и 3.2
(3.13)
С помощью матрицы [А] запишем первый закон Кирхгофа с учетом (3.6)
(3.14)
или
(3.15)
где [J] – столбцовая матрица источников тока, число строк которой совпадает с числом ветвей схемы.
Для схемы рис. 3.1 [J] = [0 0 0 – J J] T , т. е. ток источника тока J замыкается по четвертой и пятой ветвям.
Матрица контуров [В] – прямоугольная матрица, строки которой соответствуют контурам, а столбцы – ветвям направленного графа схемы. Число строк равно числу независимых контуров. Элементы матрицы в ij, где i – номер строки, j – номер столбца, принимают значения 1, –1 или 0. Элементы в ij = 1, если ветвь j содержится в контуре i и направление ветви совпадает с направлением обхода контура. Элементы в ij = – 1, если ветвь j содержится в контуре i и направление ветви противоположно направлению обхода контура. Элементы в ij = 0, если ветвь j не содержится в контуре i.
Например, в схеме рис. 3.1 и 3.2
(3.16)
С помощью матрицы В запишем второй закон Кирхгофа с учетом (3.12)
(3.17)
или
8. Матричная форма записи метода контурных токов
Уравнения метода контурных токов выводятся из уравнений, составленных ,по второму закону Кирхгофа. Подставим в матричное уравнение (3.18) уравнение (3.14), соответствующее первому закону Кирхгофа, переписав его предварительно таким образом
(3.19)
(3.20)
или
(3.21)
Можно показать, что с помощью транспонированной контурной матрицы [В]Т токи ветвей схемы [/в] могут быть выражены через матрицу контурных токов [/к]
(3.22)
г
де
[/к]–столбцовая
матрица контурных токов. Тогда выражение
(3.21) примет вид
(3.23)
или в более компактной форме
(3.24)
где
– матрица
контурных сопротивлений;
– матрица контурных ЭДС.
М
атрицы
уравнения (3.23) более просты для составления,
поэтому уравнением (3.23) пользуются при
решении на ЭВМ.
После решения уравнения (3.23) относительно контурных токов схемы решают последовательно уравнение (3.22) относительно токов ветвей и (3.19) относительно токов в резисторах.