1.1.1. Позиционные системы счисления.

Система счисления называется позиционной, если одна и та же цифра имеет различное значение, определяемое позицией цифры в последовательности цифр, изображающей число. Количество p различных цифр, используемых для записи чисел в системе, называется основанием системы счисления. Каждой цифре можно сопоставить в соответствии целое число. Совокупность этих чисел образует базу системы счисления. Она должна содержать нуль.

Наиболее широко используются системы счисления, базы которых неотрицательны – состоят из нуля и положительных чисел. В некоторых применениях используются симметричные относительно нуля базы.

Примером позиционной системы счисления является десятичная система. Для нее основание Р равно десяти, база ее неотрицательна и состоит из десяти последовательных целых чисел, начиная с нуля и кончая девятью. В качестве десятичных цифр используется арабские цифры 0,1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

В ЭВМ применяют позиционные системы с недесятичным основанием: двоичную, шестнадцатеричную, восьмеричную и т.д. В восьмеричной системе счисления используют восемь цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, база ее неотрицательна и состоит из восьми последовательных целых чисел. Шестнадцатеричная система счисления с неотрицательной базой включает шестнадцать цифр: 0,1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. База ее неотрицательна и включает шестнадцать последовательных целых чисел. Соответствие между цифрами и числами базы отражено в таблице 1.1.

Таблица 1.1

Цифра	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
Число базы	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15

Наибольшее распространение в ЭВМ получила двоичная система счисления. В этой системе счисления используется только две (“двоичные”) цифры: 0 и 1.

Существовала ЭВМ “Сетунь”, в которой использовалась троичная система счисления с симметричной базой. В ней использовались три цифры , 0, 1. Соответствие между цифрами и числами базы приведено в таблице 1.2

Таблица 1.2

Цифра	1	0	1
Число базы	-1	0	1

В этой системе счисления для различения положительных и отрицательных чисел знак не нужен. Старшей цифрой отрицательного числа всегда является 1, а положительного – .

Число в позиционной системе счисления с основанием p записывается в виде последовательности р-ичных цифр, которая разделена запятой на две последовательности:

а_n a_n-1… а₁ а₀ , a_-1 a_{- 2} … a_-m … (1.1)

Позиции, на которых в последовательности стоят цифры, пронумерованы справа налево числами нуль, один, два и т.д.; позиции, расположенные справа от запятой перенумерованы подряд слева направо с помощью отрицательных чисел минус один, минус два и т.д. Эти перенумерованные позиции называются р-ичными разрядами числа.

Каждой цифре последовательности (1.1) приписано определенное значение. Цифра, стоящая в нулевом разряде, имеет своим значением соответствующее ей число базы. Цифра, стоящая в некотором разряде, имеет значение в р раз большие того, которое она имела бы в разряде с номером, меньшим на единицу (или значение в р раз меньшее того, которое она имела бы в разряде с номером, большим на единицу).

Последовательность р-ичных цифр обозначает число, равное сумме значений его цифр.

В соответствии со сказанным последовательность р-ичных цифр (1.1) означает:

а_n a_n-1… а₁ а₀ , a_-1 a_{- 2} … a_-m … = а_nрⁿ + a_n-1р^n-1+… а₁р + а₀ + а_-1р^-1 + а_-2р^-2 + … + а_-mр^-m + … (1.2).

В дальнейшем, если это не вызывает недоразумений, вместо слов “запись числа” будем говорить просто “число”.

Последовательность цифр числа, расположенных слева от запятой, представляют целую часть числа, а справа – дробную часть числа.

Сложение, вычитание, умножение и деление чисел в р-ичной системе счисления, выполняются весьма просто, с использованием таблиц сложения, вычитания и умножения.

Весьма просто они реализуются в двоичной системе счисления в соответствии с таблицами 1.3-1.5.

Таблица 1.3 Двоичная таблица сложения		Таблица 1.4 Двоичная таблица вычитания		Таблица 1.5 Двоичная таблица умножения
0+0=0		0-0=0		0х0=0
0+1=1		1-0=1		0х1=0
1+0=1		1-1=0		1х0=0
1+1=10		10-1=1		1х1=1

С помощью этих таблиц сложение, вычитание, умножение и деление двоичных чисел выполняются по тем же правилам, по которым мы привыкли складывать, вычитать, умножать и делить десятичные числа: