2.3 Функции многих переменных.

Функцию многих переменных можно выразить через элементарные функции. Система элементарных функций называется полной, если через неё можно выразить функцию любого числа переменных. Функционально полная система функций образует логический базис.

Примеры (2.2.) базисов:

1. ¬,  -дизъюнктивный базис;

2. ¬,  -конъюнктивный;

3. ¬, ,  -Булевский базис (смешанный);

4. / -штрих Шеффера;

5. ↓ -стрелка Пирса;

6. /, «1»;

7. ↓, «0»;

8. →, «0»;

9. →, «1»;

10. →, mod2;

11. &, mod2 –базис Жегалкина.

Система функций, образующая булевский базис, наиболее изучена и используется для построения устройств в любых других базисах. Поэтому его роль при построении комбинационных схем велика.

Основные законы Булевского базиса:

1) закон идемпотентности

аа=а; аа=а;

2) коммутативный (переместительный) закон

ав=ва; ав= ва;

3) ассоциативный (сочетательный) закон

а(вс)=(ав)с; а(вс)=(ав) с;

4) дистрибутивный (распределительный) закон

а(вс)= (ав) (ас); а (вс)= (ав)  (ас);

5) закон двойного отрицания

_

ā =а;

6) законы двойственности (правила де Моргана)

_ _ __ _ _ ____

а + в= ав; а в = а + в;

Его можно распространить на любое число переменных n:

7) закон склеивания

_

а в + а в =а; (склейка по в)

_

(a + в) (a + в) =а;

8) закон поглощения

а + а в= а; а(а + в)=а.

Действия с константами «0» и «1»:

_

а + 0=а; а + 1=1; а + а =1;

_

а 0 =0; а 1=а; а а =0.

Правило введения и исключения лишних связок:

_ _

F₁X+ F₂X= F₁X+ F₂X+ F₁ F₂;

_ _

(F₁+X) (F₂+X)= (F₁+X) (F₂+X) (F₁+ F₂).

2.4. Задание функции комбинационных логических схем.

Функция может быть задана:

1) таблицей истинности.

Таблица истинности (рис 2.1.) перечисляет все наборы значений двоичных переменных и содержит строк, где n – число переменных. Для каждого набора указывается значение функции.

Если функция на наборе не определена, то в столбце значений функции используется “-“ (прочерк).

Если определить старшинство переменных, то каждому набору можно присвоить номер указываемый в столбце номеров N.

2 ) номерами наборов, например, F=1 на наборах {2,3,6}.

3) задание в виде формулы алгебры логики.

Формула представляет собой совокупность имён логических переменных, знаков логических операции и скобок.

Выражение вычисляется слева на право в соответствии со старшинством операций .

4) топологические способы задания функции в виде графов или диаграмм (карт) Карно, в виде n - мерных кубов.

2.4.1. Нормальные формы записи булевых функций.

Любая функция алгебры логики может быть представлена в дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ) или конъюнктивной нормальной форме (КНФ).

ДНФ – дизъюнкция элементарных конъюнкций.

Элементарная конъюнкция – это конъюнкция переменных функций и их отрицаний. Она не может включать переменную и её отрицание одновременно.

Пример 2.3.

Следующие выражения являются элементарными конъюнкциями.

Дизъюнкция элементарных конъюнкций: - ДНФ.

КНФ – конъюнкция элементарных дизъюнкций.

Элементарная дизъюнкция – это дизъюнкция переменных функций и их отрицаний. Она не может включать переменную и её отрицание одновременно.

Пример 2.4.

Следующие выражения являются элементарными дизъюнкциями.

Конъюнкция элементарных дизъюнкций: - КНФ.

Одна и та же функция может иметь несколько ДНФ или КНФ.

2.4.2. Совершенные нормальные формы.

Конституентой единицы называют элементарную конъюнкцию, содержащую все переменные функции. По-другому конституента единицы называется конъюнктивной конституентой, или минитермом.

Конституентой нуля называют элементарную дизъюнкцию всех переменных функций, иначе её называют дизъюнктивной конституентой, или макситермом.

Конституента единицы принимает единственное значение тогда и только тогда, когда все буквы принимают единичное значение (буква – сама переменная или её отрицание ).

abc=1 только на том наборе, где a=1, b=1, c=1, N=7 (см. рис. 1)

только на том наборе, где , N=5.

Конституента нуля принимает нулевое значение только на одном наборе, на котором все буквы равны нулю.

Конституента нуля равна 0 на наборе , а конституента нуля равна 0 на наборе

На основе конституент 1(0) строятся совершенные нормальные формы (СНФ)

Дизъюнкция конституент 1 носит название совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ).