2.6. Минимизация нормальных форм булевых функций.

Существуют следующие методы минимизации:

1. Ручные методы минимизации.

2. Машинные методы минимизации.

Ручные методы минимизации используют, если число переменных не больше 7.

В основе машинных методов минимизации лежит алгоритм Квайна-Мак Класки, алгоритмы Роота, а также методы математического программирования. В дальнейшем будем рассматривать ручные методы минимизации.

Ручные методы минимизации делятся на:

1. Аналитические;

2. Топологические.

Аналитические методы минимизации основаны на законах булевской алгебры.

Особую роль играют законы склеивания, поглощения, введения и исключения лишних связок.

минимальная форма

С использованием правила введения и исключения лишних связок нет необходимости в переходе к совершенным формам:

.

2.7 Минимизация с помощью диаграмм Карно.

Диаграмма Карно эквивалентна таблице истинности. Это прямоугольная таблица, содержащая клеток, где n- число переменных функции. Каждому набору переменных функций соответствует своя клетка. Различают два вида таблиц:

- дизъюнктивную диаграмму Карно (ДДК). В ней записывают единичные значения функции;

- конъюнктивную диаграмму Карно (КДК), В ней записывают нулевые значения функции.

В пределах одной и той же таблицы нельзя использовать 1 и 0 одновременно.

Код называется циклическим, если его соседние наборы отличаются только в одном разряде. Это касается первого и последнего набора. Из рисунка 2.8. видно, что кодировка переменных по каждой из сторон карт Карно удовлетворяет правилу образования циклического кода.

Это правило можно использовать для построения диаграмм Карно с любым числом переменных.

Н а рисунке 2.9. приведена диаграмма Карно для n=5, при построении которой использовалось выше приведённое правило.

2.8 Топологическая интерпретация правил минимизации.

Единицы, симметричные относительно оси диаграммы, делящие её на две половинки, в одной из которых переменная равна единице, а в другой равна нулю, называются смежными или соседними. Изображённые на диаграмме единицы являются соседними относительно оси, делящей диаграмму Карно на две половинки , и склеивание осуществляется по переменной .

С межные или соседние единицы могут быть объединены в одну группу, причём число единиц в группе равно , например для рис. 2.11. эта группа состоит из четырёх единиц и её соответствует конъюнкция db.

Таким образом, минимизация с помощью диаграммы Карно основана на законах склеивания и поглощения и использует правило смежности и симметрии единиц (нулей) относительной осей диаграммы Карно.

Правила минимизации:

1. Объединяем единицы (нули) в группы, число которых в группе равно , причём k=0…n, где n – число переменных, каждой группе соответствует конъюнкция n-k переменных. Исключаются k переменных, относительно осей которых выполняется правило симметрии.

2. В объединение включается как можно большее число единиц и нулей.

3. Одни и те же единицы (нули) могут входить в разные объединения.

4. Минимизация начинается с тех единиц (нулей) которые образуют единственно возможные максимальные объединения.

5. Объединения должны покрывать все единицы (нули) функции.

Пример 2.9.

n=4

;

Минимизация не полностью определённых функций.

Поскольку значение переменных из запрещённого набора не могут появляться на входе схем, то доопределение функции на этих наборах осуществляется произвольно, так чтобы реализация была минимальна.

;

На одних и тех же запрещённых наборах при образовании различных форм функция может доопределяться по разному.

Минимизация систем логических функций.

С хема, имеющая много выходов, описывается системой уравнений. Минимизация системы выполняется совместно с учётом общих частей функций системы.

2.9. Построение комбинационных схем на реальной элементной базе.

При проектировании комбинационных схем необходимо учитывать основные характеристики логических элементов:

1) Коэффициент объединения по выходу (коэффициент разветвления).

2) Коэффициент объединения по входу.

3) Быстродействие.

1) Коэффициент объединения по выходу.

К оэффициент разветвления задает максимальное количество входов логических элементов, которые могут быть соединены с выходом данного элемента (см. рис. 2.16):

Коэффициент разветвления определяет нагрузочную способность элемента. На практике возникает ситуация, когда количество элементов, соединенных с выходом данного элемента, превышает его нагрузочную способность. Для предотвращения этого необходимо её увеличить. Это делается следующим образом:

1. Используются элементы с повышенным значением коэффициента разветвления.

2 . Используют метод дублирования и размножения (см. рис.2.17.):

3 . Используются буферные элементы с высокой нагрузочной способностью. Эти элементы являются усилителями мощности. В логических элементах с потенциальным выходом усиление мощности реализуется путём усиления тока. В вычислительной технике усилитель тока принято называть драйвером. На схемах элемент изображается в соответствие с рис. 2.18., где буферный элемент- драйвер.

Совместное использование метода размножения и буферных элементов приводит к схеме на рис. 2.19., которая позволяет обеспечить высокую нагрузочную способность.