21.Мішаний добуток векторів та його властивості

Змішаний добуток трьох векторів.Трійкою векторів називаються три вектори, якщо вказано, який з них вважається першим, який другим і який третім. Трійку векторів записують за порядком нумерації; наприклад, запис a, b, c означає, що вектор a вважається першим, вектор b – другим, с – третім.Векторы называются компланарными, если имеются равные им вектора, параллельные одной плоскости.

Трійка некомпланарних векторів a, b, c називається правою, якщо вектори, що її утворюють, після приведення до загального початку, розташовуються у порядку нумерації аналогічно до того, як розташовуються великий, вказівний та середній пальці правої руки.

Якщо вектори a, b, c розташовані аналогічно до того, як розташовані великий, вказівний та середній пальці лівої руки, то трійка цих векторів називається лівою.

Змішаним добутком трьох векторів називається число, яке дорівнює векторному добутку [ab], помноженому скалярно на вектор c, тобто [ab]c.

Справджується тотожність: [ab]c=a[bc]; зважаючи на це для позначення змішаного добутку [ab]c використовується простіший символ: abc. Таким чином, abc=[ab]c, abc=a[bc].

Змішаний добуток abc дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах a, b, c, взятому зі знаком плюс, якщо трійка abc права, зі знаком мінус, якщо ця трійка ліва. Якщо вектори a, b, c компланарні (і тільки в цьому випадку), змішаний добуток abc дорівнює нулю; іншими словами, рівність abc=0 є необхідною і достатньою умовою компланарності векторів a, b, c.

Якщо вектори a, b, c задані своїми координатами a={X_1,Y_1,Z_1}, b={X_2,Y_2,Z_2}, c = {X_3,Y_3,Z_3}, то змішаний добуток abc визначається формулою [abc] = визначник |( X_1,Y_1,Z_1)( X_2,Y_2,Z_2) X_3,Y_3,Z_3|

22. Пряма, як лінія першого порядку. Загальне рівняння прямої на площині. Дослідження неповного рівняння прямої на площині.

Пряма лінія — алгебраїчна лінія першого порядку: у декартовій системі координат пряма лінія задається на площині рівнянням першого степеня (лінійне рівняння):

де , , — деякі числа, при чому або повинне бути відмінне від нуля.^[1] Це рівняння - загальне рівняння прямої. Його також називають «стандартним».

Натомість, Канонічне рівняння прямої, що випливає з попереднього має вигляд лінійної функції:

.

Пряма (а також пара пересічних прямих) є виродженим прикладом конічного перетину.

Пряма (а також пара пересічних прямих) є виродженим прикладом конічного перетину.

• Загальне (повне) рівняння площини

де та  — сталі, при чому і не всі рівні нулю; у векторній формі:

де  — радіус-вектор точки , вектор перпендикулярний до площини (нормальний вектор). Напрямні косинуси вектора :

Якщо один з коефіцієнтів в рівнянні площини дорівнює нулю рівняння називаєтся неповним. При площина проходить через початок координат, при (або , ) площина паралельна осі (відповідно чи ). При ( , чи ) площина паралельна площині (відповідно чи ).