5.Поняття про систему n-лінійних алгебраїчних рівнянь з m невідомими. Умови сумісності і визначеності слар.

СЛАР називається системою m лінійних рівнянь з n невідомими (змінними), де x1, x2, ..., xn— невідомі; aij — коефіцієнти системи рівнянь; bi — вільні члени, або праві частини системи рівнянь. Якщо всі bi= 0, то система лінійних рівнянь називається однорідною.

Розв’язком системи лінійних алгебраїчних рівнянь є будь-яка сукупність дійсних чисел , яка при підстановці кожне рівняння системи перетворює його в тотожність.

Якщо система має хоча б один розв’язок, то вона називається сумісною, і несумісною, якщо не має жодного. Відповідь на питання сумісності системи дає теорема Кронекера-Капеллі.

Сумісна система називається визначеною, якщо вона має єдиний розв’язок, і невизначеною, якщо вона має безліч розв’язків. В останньому випадку кожен її розв’язок називають частковим розв’язком системи. Сукупність усіх часткових розв’язків називають загальним розв’язком системи.

Якщо всі вільні члени , система лінійних алгебраїчних рівнянь називається однорідною. Однорідна система має очевидний розв'язок, у якому всі . Цей розв'язок заведено називати тривіальним. Відмінні від тривіального розв'язки існують тільки тоді, коли матриця вироджена.

6.Розв*язування слар. Метод оберненої матриці.

Методи розв’язування систем лінійних албераїчних рівнянь можна досить чітко поділити на три групи: точні, ітераційні та ймовірнісні. За Бахваловим (1987 рік), точні методи застосовні до систем з числом змінних до порядку 10⁴, ітераційні — 10⁷.

Точні методи

До точних методів належать методи, що дають точний результат у припущенні ідеальної арифметики. Точні методи можна застосовувати й тоді, коли коефіцієнти й вільні члени рівняння задані в аналітичній, символьній формі.

Матричний метод (за допомогою оберненої матриці) - певна теоретична абстракція всіх інших точних методів.

• Систему записуємо у вигляді матричного рівняння AX  B , де

• A—основна матриця системи,

• X і B—це матриці-стовпці, складені з невідомих і вільних членів відповідно.

• Рішення системи шукаємо у вигляді X  A1  B , дотримуючись такого порядку

• дій:

• 1) записуємо основну матрицю системи A і знаходимо її визначник A .

• 2) якщо A  0, то система розв’язку не має;

• 3) якщо A  0 , тоді знаходимо обернену матрицю A1 до матриці A ;

• 4) множимо обернену матрицю A1 на матрицю-стовпець вільних членів;

• 5) одержаний стовпець X є розв’язком системи

Ітераційні методи встановлюють процедуру уточнення певного початкового наближення до розв'язку. При виконанні умов збіжності вони дозволяють досягти будь-якої точності просто повторенням ітерацій. Перевага цих методів у тому, що часто вони дозволяють досягти розв'язку з наперед заданою точністю швидше, а також розв'язувати більші системи рівнянь. Суть цих методі полягає в тому, щоб знайти нерухому точку матричного рівняння:

,

еквівалентного початковій системі лінійних алгебраїчних рівнянь. При ітерації в правій частині рівняння заміняється, наприклад, у методі Якобі (метод простої ітерації) на наближення, знайдене на попередньому кроці:

.

Збіжність ітераційної процедури досягається вибором матриці , що залежить від задачі. Умови збіжності конкретні для кожного конктретного метода.