43. Задачі, що приводять до поняття похідної. Означення похідної. Геометричний механічний та економічний зміст похідної.

Похідною функції f(x) у точці х₀ називається границя (якщо вона існує) відношення приросту функції у точці х₀ до приросту аргументу Δх, якщо приріст аргументу прямує до нуля і позначається f'(x₀).

Механічний  зміст похідної.

Було розглянуто задачу про знаходження миттєвої швидкості прямолінійного руху матеріальної точки. Порівнюючи одержані результати з означенням похідної, можна зробити висновок: якщо матеріальна точка рухається прямолінійно і її координата змінюється по закону s = s(t), то швидкість її руху v(t) в момент часу t дорівнює похідній s'(t):

44. Похідні елементарних функцій. Похідна оберненої функції. Таблиця похідних.

Константа

, де

Сума і різниця похідних

Похідна від добутку і частки

[ред.] Похідна від складної функції

Похідна від оберненої функції

45. Похідна від складної функції

Неявна функція — математична функція, задана за допомогою рівняння.

Для функції від аргументу таке рівняння записується в загальній формі

,

де - функція від двох аргументів, на відміну від явного задання функції:

.

Прикладом неявної функції може служити рівняння кола:

,

де — радіус кола.

Це рівняння задає двозначну функцію^[1]

.

Похідна від неявної функції

Похідна від неявної фунції знаходиться як

46. Означення диференціала

Означення 5. Головну лінійну частину приросту функції нази­вають диференціалом цієї функції. Диференціал функції у = f (х) позначають dy або df(x). Таким чином,

тобто для знаходження диференціала функції у = f (х), що має похідну в точці х, треба помножити значення цієї похідної на приріст аргумента або на dx ( = dx).

З рівності

(9)

одержимо, , тобто похідна функції дорівнює відношенню диференціала функції до диференціала незалежної змінної.

Диференціали часто застосовують для знаходження наближених значень функції.

Похідна суми, добутку і частки

47. Основні теореми диференціального числення

Теорема Роля

Теорема. Нехай функція задовольняє умовам:

1) визначена і неперервна на відрізку :

2) диференційована в інтервалі ;

3) на кінцях відрізка набуває однакових значень: .

Тоді всередині інтервалу знайдеться хоча б одна точка в якій .Теорема Лагранжа

Теорема. Якщо функція : 1) задана і неперервна на відрізку ; 2) диференційована в інтервалі , то тоді всередині інтервалу знайдеться хоча б одна точка , в якій справджуються рівність

.

Теорема Ферма — необхідна умова екстремуму.

Нехай дійсна функція f визначена в околі деякої точки і має в цій точці похідну. Тоді якщо в цій точці f має екстремум то .

Геометрично це означає, що дотична до графіка функції f в точці горизонтальна.