54. Частинний і повний приріст ф-ції двох змінних. Частинні похідні. Повний диференціал

Частинною пох. по х від ф-ції z=f(x;y) наз. границя віднош. частин. приросту по х до х, за умови х0, якщо границя існує.

, z’x

Частин. пох. по у від ф-ції z=f(x;y) наз. границя віднош. частин. приросту по у до у, за умови у0, якщо границя існує.

Диференц.

Повний диференціал

55. Похідні вищих порядків.Теорема про рівність мішаних похідних. Диф вищих порядків.

Нехай ф-ція z=f(x;y) визнач. на деякому околі т. Р₀(х₀;у₀); l - деякий промінь з поч.. у т. Р₀(х₀;у₀); Р(х;у) – т. на цьому промені, яка належить околу, що розгл. l- довжина відрізка Р₀Р. Границя

, якщо вона існує, наз. похід. за напрямом. Похідна характер. Швидкість змінювання ф-ції у т. Р₀(х₀;у₀) за напрямом .

Означення: Диференціалом другого порядку від ф-ії z=f(x;y) називається диференціал від її повного диференціалу, тобто d²z=d(dz). Аналогічно визначають диференціали третього і вищого порядків.

Теорема: Якщо ф-ія z=f(x;y) визначена в області D, в цій області існують перші похідні і , другі змішані похідні і і похідні і як ф-ії від х і у неперервні в точці (х₀;у₀), тоді в цій точці

56. Необхідні та достатні умови екстремуму функції багатьох змінних

Означення: Нехай ф-ія z=f(x;y) визначена в деякому околі точки (x₀;y₀) і неперервна в цій точці. Якщо для всіх точок (x;y) цього околу виконується нерівність , тоді ця точка (x₀;y₀) називається точкою максимуму (мінімуму) ф-ії z=f(x;y).

Точки максимуму і мінімуму наз. точками екстремуму.

Теорема (необхідна умова екстремуму): Якщо ф-ія z=f(x;y) має екстремум в точці (x₀;y₀), тоді в цій точці частинні похідні і або дорівнюють нулю, або хоча б одна з них не існує.

Теорема (достатня умова екстремуму): Нехай ф-ія має екстремум у точці (x₀;y₀), неперервні частинні похідні першого і другого порядку, причому та а також . Якщо:

1. AC-B²>0 і A<0 тоді (x₀;y₀) точка максимуму

2. AC-B²>0 і A>0 тоді точка мінімуму

3. AC-B²<0 екстремуму немає

4. AC-B²=0

57. Поняття про умовний екстремум. Метод множників Лагранжа.

Нехай на відкритій множині D  R² задано ф-ії u=f(x;y), v=(x;y) і Е – множина точок, що задовольняють рівняння:

Означення: Рівняння називають рівнянням зв’язку, точку (x₀;y₀)Е називають точкою умовного строгого максимуму ф-ії u=f(x;y) при обмеженнях рівняння.

Точки умовного максимуму та мінімуму називають точками умовного екстремуму. Умовний екстремум інколи називають відносним екстремумом.

Ф-ція L(x;y)=f(x;y)+(x;y) наз. ф-цією Лагранжа, параметр - множн. Лагнаржа.

Теорема.

Для того, щоб т. (х₀;у₀) була т. умовного екстр. ф-ції u=f(x;y) при р-ні звязку (х;у)=0, необ., щоб її координ. При деяких знач.  задов. сис-му р-нь: