Односторонні границі. Ліва та права границя функції

Нехай функція визначена на проміжку . Число називають лівою границею функції в точці і пишуть

,

якщо для будь-якого числа знайдеться додатнє число , яке залежить від , таке, що для всіх , які задовільняють нерівність , виконується нерівність

.

Аналогічно визначається права границя функції . Для позначення правої границі функції в точці використовується позначення

.

Ліва і права границі функції називаються односторонніми границями.

40. Арифметичні дії над функціями , що мають скінченні границі. Важливі границі.

Деякі важливі границі:

- Границя частки одиниці і х дорівнює нулю, якщо х прямує до нескінченності.

- Границя частки синуса х і х дорівнює одиниці, якщо х пярмує до нуля.

41.Неперевність функції. Арифметичні дії над неперервними функціями. Класифікація розривів функції.

Непере́рвна фу́нкція — одне з основних понятть математичного аналізу. Неперервні функції трапляються набагато частіше, ніж диференційовні, множина всіх неперервних функцій замкнена відносно арифметичних операцій (за винятком ділення) і композиції та утворює чи не найважливіший клас функцій в аналізі. Проте строге математичне означення неперервної функції, яке належить Коші, — порівняно нещодавнє, і потребує просунутого рівня математичної абстракції. Інтуїтивне ж означення таке: функція дійсної змінної неперервна, якщо малим змінам аргумента відповідають малі зміни значення функції, що можна записати так: коли Це означає, що графік неперервної функції не має стрибків, тобто може бути накреслений «не відриваючи олівець від паперу». Всі елементарні функції — неперервні на своїй області визначення.

Точка розриву - це така точка (значення аргументу) в якій функція не є неперервною.

Розрізняють такі види точок розриву:

Розрив називають усувним, якщо в даній точці існує границя функції, що не збігається з значенням функції.

Точку називають точкою розриву першого роду, якщо існують скінченні ліва та права границі в даній точці, та вони не збігаються.

Якщо хоча б одна одностороння границя не існує, чи нескінченна, то точку називають точкою розриву другого роду.

Розриви функції бувають ліквідовні та неліквідовні:

(х) не визначена в точці х, або визначена, але мають місце

співвідношення

то розрив в точці х1 називають ліквідовним. В цьому випадку функцію

можна визначити або змінити її значення в точці х, так, щоб виконувались

рівності

2) Неліквідовні розриви поділяються на розриви першого та другого роду.

називають стрибком функції;

, то розрив в цій точці називають розривом другого роду.

На Малюнку 1 функція має розрив першого роду в точці х1, її стрибок

дорівнює b - а, а в точці х2 функція має розрив другого роди.

42. Властивості неперервних функцій. Неперервність елементарних функцій.

Теорема 1. Якщо функції і є неперервними в точці , то в цій точці будуть неперервними і функції , . Теорема 2. Якщо і є неперервними в точці і , то в точці є неперервною також і функція .

Зверніть увагу: всі дробово-раціональні функції і основні тригонометричні функції є неперервними на будь-якому проміжку, у кожній точці якого вони визначені. Графік неперервної функції на такому проміжку є безперервною лінією.

Теорема 3. Нехай функція неперервна на проміжку і приймає на його кінцях значення різних знаків. Тоді вона обертається в нуль хоча б в одній точці цього проміжку. Якщо функція є монотонною на , то вона перетворюється на 0 тільки один раз.

Наслідки 1) Якщо функція неперервна на проміжку , то вона дістає на цьому проміжку будь-яке значення M, яке розташоване між і . 2) Якщо функція неперервна на проміжку і не перетворюється на нуль всередині цього проміжка, то вона має один і той самий знак в усіх внутрішніх точках проміжку. Ці властивості дають змогу обґрунтувати метод інтервалів, який широко застосовується для розв’язування нерівностей.

Будь-яка елементарна функція є неперервною і диференційовною у своїй області визначення. Похідна елементарної функції також є елементарною функцією. З іншого боку, зворотна функція та первісна елементарної функції може не бути елементарною функцією.