1.Матриці. Види матриць. Додавання матриць і множення матриці на число. Добуток матриць. Специфічні властивості матриць.

Матриця розміру m*n – це прямокутна числова таблиця, яка має m рядків і n стовпців.

Види матриць:

1)квадратична матриця порядку n-матриця розміру n*n;

2)вектор рядок-матриця розміру 1*n;

3)вектор-стовбець-матриця розміру n*1;

4)нульова матриця(0) - складається з нулів;

5)одинична матриця порядку n-квадратна матриця Е на головній діагоналі 1;

6)діагональна матриця - лише на діагоналі знаходяться числа;

7)верхньо трикутна матриця-матриця, в якій інф. Зосереджується над головною діагоналлю, нулі під діагоналлю;

8)нижньо трикутна матриця – це матриця, в якій інф. Знаходиться під головною діагоналлю, нулі над діагоналлю;

9)симетрична матриця -матриця, симетричні елементи яких відносно головної діагоналі (від верхнього лівого до нижнього правого кута) є рівними

Сумою матриць і є матриця того ж самого розміру, кожен елемент якої є сумою відповідних елементів матриць і

Добутком дійсного числа на матрицю є матриця, кожен елемент якої є добутком цього числа на відповідні елементи матриці.

Добутком матриці на матрицю називають матрицю розміру , у якої елемент є сумою добутків елементів -го рядка матриці на відповідні елементи -го стовпця матриці

Властивості:

а) А - В = В + А — комутативність відносно додавання мат­риць;

б) А + (В + С) — (А + В)+С — асоціативність відносно до­давання матриць;

г) (βA) = ( β) А — асоціативність відносно множення чисел;

д) (А + В) = А + В — дистрибутивність множення на чис­ло відносно додавання матриць;

е) ( + β) А — А + βА — дистрибутивність множення на мат­рицю відносно додавання чисел.

2.Визначники n-го порядку. Мінори та алгебраїчні доповнення визначника. Розклад визначника за елементами рядка або стовпця(теорема Лапласа)

Визначником матриці A n-го порядку називається алгебраїчна сума всіх можливих добутків n елементів матриці, узятих по одному з кожного її рядка і кожного стовпця.

Мінором елемента квадратної матриці називають детермінант матриці, утвореної після викреслювання рядка та стовпця, в якому знаходився елемент.

Алгебраїчним доповненням елемента матриці називатимемо визначник, одержаний з матриці заміною цього елемента на 1, а елементів рядка та стовпця, в яких знаходився елемент, на нулі.

Теорема Лапласа

Визначник дорівнює сумі добутків елементів довільного рядка (стовпця) на їх алгебраїчні доповнення.

Наприклад, для визначника третього порядку виконуються такі рівності:

(Розклад за елементами першого рядка); (розклад за елементами другого стовпця).

3. Поняття про обернену матрицю. Необхідна і достатня умови існування оберненої матриці. Знаходження оберненої матриці.

Матриця А^-1 називається оберненою до матриці А, якщо виконується рівність А^-1 А=АА^-1 = Е_n, де Е_n- одинична матриця порядку n.

Процес знаходження А^-1 називається інвертуванням матриці А. Інвертуватись можуть тільки квадратні матриці, визначник яких відмінний від нуля.

Якщо визначник (det A) не дорівнює нулю, то матриця А має обернену.

Алгоритм знаходження оберненої матриці.

1. Знаходимо визначник матриці А, якщо det A¹0, то вона має обернену.

2. Знаходимо алгебраїчні доповнення до кожного елемента а_ij матриці А, і складаємо з них матрицю.

3. Транспонуємо матрицю J¹, отримаємо матрицю J.

4. Щоб отримати А^-1 потрібно помножити матрицю J на число

Властивості оберненої матриці.

а) (АВ)^-1=В^-1А^-1

б) (АВС)^-1=С ^–1 В ^-1А^-1

в) (А^Т)^-1= (А^-1)^Т

г) А^-1А= Е

4.Ранг матриці. Теорема про ранг матриці.

Рангом r (А) матриці А називається найбільший з порядків її мінорів, відмінних від нуля.

Безпосередньо з означення випливає, що:

1) Ранг існує для будь-якої матриці Атхп, причому

2) r (A) = 0 тоді і тільки тоді, коли А = 0;

3) для квадратної матриці п-го порядку ранг дорівнює п тоді і тільки тоді, коли матриця невироджена.

Ранг матриці можна знайти так. Якщо всі мінори першого порядку (елементи матриці) дорівнюють нулю, то r = 0. Якщо хоч один з мінорів першого порядку відмінний від нуля, а всі мінори другого порядку дорівнюють нулю, то r = 1. У випадку, коли є мінор другого порядку, відмінний від нуля, досліджуємо мінори третього порядку. Так продовжуємо доти, поки не станеться одне з двох: або всі мінори порядку k дорівнюють нулю, або мінорів порядку k не існує, тоді r = k-l.

Теорема про ранг матриці: Ранг матриці рівний найбільшому числу лінійно-незалежних рядків (або стовпців) матриці. Причому ранг по стовпцям збігається з рангом по рядкам.

Теорема про базисний мінор: Рядки ненульової матриці на яких будується її базисний мінор є лінійно незалежними. Всі інші рядки матриці лінійно виражаються через них.