13.Поняття квадратичної форми. Додатно визначені квадратичні форми. Критерій Сильвестра.

Квадратичною формою від змінних називають однорідний многочлен парних добутків цих змінних з відповідними коефіцієнтами. Це означає, що кожен член квадратичної форми містить або квадрат однієї із змінних, або добуток двох різних змінних (див. далі)[11].

Ось приклади квадратичних форм від однієї, двох і трьох змінних:

Квадратична форма наз. додатньо визначеною, якщо при будь-яких дійсних значеннях цих невідомих , хоча б одне відмінне від 0, ця форма набуває додатних значень. Треба, щоб всі кутові мінори були додатними. Щоб була від'ємн. треба, щоб знаки кутових мінорів чергув, почин. з “-“.

Критерій Сильвестра визначає чи є квадратна матриця додатньоозначеною (від'ємноозначеною). Названий за іменем англійського математика Джеймса Джозефа Сильвестра.

Якщо квадратична форма в деякому базисі має матрицю .

.

• Квадратична форма є додатньовизначеною, тоді і тільки тоді, коли всі кутові мінори її матриці строго додатні.

• Квадратичная форма є від'ємновизначеною, тоді і тільки тоді, коли знаки всіх кутових мінорів її матриці чергуються, причому .

Доведення критерія Сільвестра базується на методі Якобі приведення квадратичної форми до канонічного вигляду.

14.Поняття канонічного і нормального вигляду квадратичної форми. Методи зведення квадратичної форми до канонічного вигляду.

Індексом інерції квадратичної форми наз. число відмінних від нуля

канонічних коефіцієнтів даної форми; додатнім(від’ємним) індексом

інерції- число додатних (від’ємних) канонічних коефіцієнтів.

Зведення квадратичних форм до канонічного виду.

Якщо квадратичну форму звести, за допомогою лінійного перетворення, то

отримаємо квадратичну форму від нових змінних з іншими коефіцієнтами.

Теорема. Будь-яку квадратичну форму за допомогою невиродженого лінійного

перетворення змінних можна звести до канонічного вигляду.

зведена до канонічного вигляду

Такий вигляд квадратичної форми називають нормальним виглядом.

15.Дії над векторами в геометричній формі(додавання векторів та множення вектора на число)

Сумою a + b векторів a і b називається вектор, що йде з початку вектора а в кінець вектора b, якщо початок вектора b співпадає з кінцем вектора а

Властивості додавання:

В-сть 1. A + b = b + a.

В-сть 2.(A + b) + c = a + (b + c).b

В-сть 3.Для будь-якого вектора a існує нульовий вектор Про таку, що a + О = а.

Властивість 4.Для кожного вектора a існує протилежний йому вектор a ^/ такий, що а + а ^/ = О.

Добутком вектора на число k називають вектор , колінеарний з вектором , що має довжину в k раз більшу, ніж та напрям такий самий, як , якщо k > 0 і протилежний до , якщо k < 0.

Властивості множення вектора на число:

Властивість 1. K (a + b) = ka + kb.

Властивість 2.(K + m) a = ka + ma.

Властивість 3. K (ma) = (km) a.