1. Для будь якого вектора (рівність Персеваля)

2. Для довільної пари векторів та

3. Ортонормована система u₁, u₂, … не міститься в жодній іншій ортонормованій системі простору . Для довільного вектора із (u_k, a) = 0 (k = 1, 2, …) випливає, що a = 0.

18.Координати вектора на площині та у просторі.

Прямокутна (декартова) система координат в просторі задається трійкою попарно перпендикулярних осей.

Якщо вектор a, який знаходиться в прямокутній системі координат OXYZ, має початком точку A з координатами X_A, Y_A, Z_A, а кінцем – точку B з координатами X_B, Y_B, Z_B, то числа X_B - X_A, Y_B - Y_A, Z_B - Z_A називається його координатами: a( X_B - X_A; Y_B - Y_A; Z_B - Z_A).

Пряму x називають віссю абсцис, пряму у – віссю ординат. Кожній точці площини відповідають два числа (координати).

На першому місці записують координату по осі х (інакше - абсцису), на другому – координату по осі у (інакше - ординату).

Наприклад, точка А має координати 3 і 2: А(3; 2). І навпаки, пара чисел (-2; 3) визначає точку В(-2; 3).

19.Скалярний лобуток векторів, його властивості,геометричний та механічний зміст.

Скалярний добуток (англ. dot product, англ. scalar product, нім. Skalarprodukt, рос. скалярное произведение) — математична операція над двома векторами. Cкалярний добуток векторів та обчислюється за формулою:

де та є довжинами векторів, а дорівнює косинусу кута між цими векторами. Як і у випадку звичайного множення, знак множення можна не писати: = .

Два означення добутку векторів.

Скалярним добутком двох векторів - називається число, рівне добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.

Скалярним добутком двох векторів - називається число, рівне добутку довжини одного з цих векторів на проекцію іншого вектора на вісь, обумовлену першим з вказаних векторів.

Властивості

• Попри те, що у випадку дійсних чисел є симетричним, тобто , у випадку комплексних чисел є ермітовим, тобто .

• Скалярний добуток не асоціативний (і не може бути, оскільки результатом скалярного добутку є скаляр, а не вектор).

• Скалярний добуток дистрибутивний по відношенню до додавання та віднімання.

• В евклідовому просторі спряженим по відношенню до лінійного оператора A називається оператор A^*, для якого виконується рівність: для довільних x, y.^[1]

20.Векторний добуток векторів та його властивості

Векторний добуток векторів.Векторним добутком вектора a на вектор b називається вектор, що позначається символами [ab] і визначається наступними трьома умовами:

• 1) модуль вектора [ab] дорівнює |a||b|sin(fi), де fi – кут між векторами a і b;

• 2) вектор [ab] перпендикулярний до кожного з векторів a i b;

v3) напрямок вектора [ab] відповідає правилу “правої руки”.

Це означає, що якщо вектори a,b і [ab] зведені до загального початку, то вектор [ab] має бути спрямованим так, як спрямований середній палець правої руки, великий палець якої спрямований за першим співмножником (тобто за вектором а), а вказівний – за другим (тобто за вектором b).

Векторний добуток залежить від порядку співмножників, а саме:[ab]=-[ba]. Модуль векторного добутку[ab] дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах a і b |[ab]|=S. Векторний добуток [ab] дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли вектори a i b колінеарні. Зокрема [aa]=0.

Якщо система координатних осей права і вектори a i b задані в цій системі своїми координатами: a={X_1,Y_1,Z_1}, b={X_2,Y_2,Z_2}, то векторний добуток вектора a на вектор b визначається за формулою: [a,b] = {визначник|(Y_1 Z_1)(Y_2 Z_2)|; - визначник|(X_1 Z_1)(X_2 Z_2)|; визначник|(X_1 Y_1)(X_2 Y_2)|}.