Билет №17

1. Если предложения А и В равносильны, то говорят, что А — необходимое и достаточное условие для В, и наоборот.

Если из предложения А следует предложение В, то говорят, что В — необходимое условие для А, а А — достаточное для В.

Другими словами, предложение В называется необходимым усло­вием для А, если оно логически следует из А. Предложение А называется достаточным условием для В, если В из него сле­дует.А=>В(А-необходимое условие для В,В-для А)

Пример 1. Ранее мы установили, что из предложения А— «Углы X н Y вертикальные» следует предложение В — «Углы Х и У равны». Поэтому согласно данному выше определению можно ска­зать, что равенство углов — необходимое условие для того, чтобы уг­лы были вертикальными, а вертикальность углов есть достаточное условие для их равенства. В связи с этим предложение «Если углы вертикальные, то они равны» можно сформулировать иначе, исполь­зуя слова «необходимо» и «достаточно»:

Для того чтобы углы были вертикальными, необходимо, чтобы они были равны.

Для того чтобы углы были равны, достаточно, чтобы они были вертикальными.

2.Определение. Длиной отрезка называется положительная величина, определенная для каждого отрезка так, что:

равные отрезки имеют равные длины;

если отрезок состоит из конечного числа отрезков, то его длина равна сумме длин этих отрезков.

Свойства длин отрезков:

1.При выбранной единице длины длина любого отрезка вы­ражается положительным действительным числом, и для каждого положительного действительного числа есть отрезок, длина кото­рого выражается этим числом.

2. Если два отрезка равны, то численные значения их длин также равны, и обратно: если численные значения длин двух отрезков равны, то равны и сами отрезки.

3. Если данный отрезок есть сумма нескольких отрезков, то чис­ленное значение его длины равно сумме численных значений длин отрезков слагаемых, и обратно: если численное значение длины отрезка равно сумме численных значений нескольких отрезков, то и сам отрезок равен сумме этих отрезков.

4. Если длины отрезков а и b таковы, что Ь=ха, где х — положительное действительное число и длина а измерена при помощи единицы е, то, чтобы найти численное значение длины b при единице е, достаточно число х умножить на численное значение длины а при единице е.

5.При замене единицы длины численное значение длины уве­личивается (уменьшается) во столько раз, во сколько новая единица меныие (больше) старой.

Билет №18

1. , теорема — это высказывание о том, что из свойстваА следует свойство В. Истинность этого высказывания устанав­ливается путем доказательства.

Доказываемые свойства понятий чаще всего называют теоре­мами, иногда следствиями или признаками. В алгебре — формула­ми, тождествами, правилами. Несмотря на разные названия, устрое­ны эти предложения одинаково. Поэтому будем называть их все теоремами.Теоремы А=>B и В=>А называются обратными друг другу, а те­оремы А=>В и не А=> не В называются противоположными друг другу.(Не В=> не А-обратная противоположной-если углы вертикальные, то они равны)

2. Условимся площадь фигуры F обозначать S (F).

Чтобы измерить площадь фигуры, нужно иметь единицу площади. Как правило, за единицу площади принимают площадь квадрата со стороной, равной единичному отрезку е, т. е. отрезку, выбранному в качестве единицы длины. Площадь квадрата со стороной е обозначают е². Одним из приемов, опирающихся непосредственно на определе­ние площади, является измерение площади при помощи палетки — сетки квадратов, нанесенной на прозрачный материал. Допустим, что на фигуру F, площадь которой надо измерить (рис. 160), наложена сетка квад­ратов со стороной е. Тогда по отношению к этой фигуре можно выделить квадраты двух видов:

квадраты, которые цели­ком лежат внутри фигуры F

квадраты, через которые проходит контур фигуры и которые лежат частью вне, частью внутри фигуры F.

Определение. Площадью фигуры называется неотрица­тельная величина, определенная для каждой фигуры так, что:

равные фигуры имеют равные площади;

если фигура составлена из конечного числа фигур, то ее площадь равна сумме их площадей.

Например, фигура F, изображенная на рисунке 158, составлена из фигур F1, F₂ и F3. Говоря, что фигура составлена (состоит) из фигур F1, F2, ..., F„, имеют в виду, что она является их объединением и любые две данные фигуры не имеют общих внутренних точек.