Билет №14

1. Про числа 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 можно сказать:

а) все данные числа однозначные;

б) некоторые из данных чисел четные.

Так как относительно этих предложений можно сказать, что они истинны или ложны, то полученные предложения — высказы­вания.

Выясним, как устроены такие предложения.

Если из предложения «а» убрать слово «все», то получим предложение «Данные числа однозначные». Это высказыватель­ная форма (хотя переменной в явном виде предложение не содер­жит), так как вопрос «Истинно это предложение или ложно?» смысла не имеет. Значит, слово «все», поставленное перед данной высказывательной формой, обращает ее в высказывание.

Предложение «б» устроено аналогично, только высказыватель-ную форму «Данные числа четные» обращает в высказывание слово «некоторые».

Слова «все» и «некоторые» называют кванторами. Слово «квантор» латинского происхождения и означает «сколько», т. е. квантор показывает, о скольких (всех или некоторых) объектах говорится в том или ином предложении.

Различают кванторы общности и существования.

Кванторы общности — это слова «любой», «всякий», «каж­дый», «все».

Кванторы существования — это слова «существует», «неко­торые», «найдется», «хотя бы один».

Таким образом, если перед одноместной высказывательной формой поставить какой-либо квантор (т. е. слово «любой», «вся­кий», «существует» и т. д.), то получаем высказывание. Значит, получить из одноместной высказывательной формы высказыва­ние можно не только подставляя в нее конкретные значения переменной, но и поставив перед высказывательной формой кван­тор (общности или существования).

2.Объединение множества отрицательных действительных чиселс множеством положительных действительных чисел и нулем есть множество действительных чисел. Его обозначают буквой r.

Числа, расположенные на координатной прямой в заданном направлении, называют положительными, а числа, расположенные на координатной прямой в направлении, противоположном задан­ному,— отрицательными. Число 0 не считается ни положительным, ни отрицательным.

Суммой двух действительных чисел называется число, которое удовлетворяет условиям:

1)сумма двух положительных чисел есть число положитель­ное и находится по правилам, определенным в множестве положи­тельных действительных чисел;

2)сумма двух отрицательных чисел есть число отрицательное; чтобы найти модуль суммы, надо сложить модули слагаемых;

3)сумма двух чисел, имеющих разные знаки, есть число, ко­торое имеет тот же знак, что и слагаемое с большим модулем; что­бы найти модуль суммы, надо нз большего модуля вычесть мень­ший.

Произведением двух действительных чисел называется число, которое удовлетворяет условиям:

произведение двух положительных чисел есть число поло­жительное и находится по правилам, определенным в множестве положительных действительных чисел;

произведение двух отрицательных чисел есть число поло­жительное; произведение двух чисел, имеющих разные знаки, есть число отрицательное; чтобы найти модуль произведения, надо пе­ремножить модули этих чисел.

Вычитание и деление действительных чисел определяются как действия, обратные соответственно сложению и умножению. Вычи­тание в множестве действительных чисел выполняется всегда, так же как и деление, за исключением случая деления на нуль.