Билет №10

1.Определение. Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А.

Определение. Множества А и В называются равными, если А подмножество B,B подмножество А.

Если они равны, то пишут А=B. Если у множеств А и B есть общие элементы, то говорят, что эти два множества пересекаются.

Наглядно отношения между множествами изображают при по­мощи особых чертежей, называемых кругами Эйлера'. Для этого множества, сколько бы они ни содержали элементов, представляют при помощи кругов, овалов или любых других геометрических фигур.

Например, отношение включения между множествами А ={а. Ь, с, d, е) и В = (с, d, е) можно представить при помощи кругов Эйлера так, как на рисунке 21.

Множества А = {а, Ь, с, d, е) и В = {b, d, k, е) пересекаются, но ни одно из них не является подмножеством другого. Поэтому при помощи кругов Эйлера они изображаются так, как на рисунке 22.

Непересекающиеся множества изображают при помощи двух кругов, не имеющих общих точек.

2.Определение. Если положительные рациональные числа представлены дробями m/n и p/q,то их произведение есть число, представляемое дробью mp/nq.

О п р е д с л е н и е. Частным двух положительных рацио­нальных чисел а и b называется такое число с, что а = Ьс.(m/n:p/q=mq/np)

Билет №11

1.Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее только такие элементы, которые принад­лежат множеству А и множеству В.

Определение. Объединением множеств А и В называется множество, содержащее только такие элементы, которые принадле­жат множеству А или множеству В.

2. Особую важность имеют те дроби, знаменатели которых являются степенями 10. Всякую такую дробь можно записать в виде десятичной дроби. В отличие от десятичных дробей дроби вида m/n называются обыкновенными.

Для того чтобы несократимая дробь m/n была равна десятичной дроби, необходимо и достаточно, чтобы в разложение ее- знамена­теля на простые множители входили лишь числа 2 или 5.(19/80,80=2 в 4-ой степени*5)-можно записать в виде десятичной.

Среди десятичных дробей выделяют и часто используют дробь 0,01. Ее называют процентом и обозначают 1%. На практике в про­центах выражают части величины. Так, говорят, что цены на то­вары снижены на 20%, сахарный тростник содержит 15% саха­ра. Зная это, можно найти, например, сколько сахара содержит­ся в 10 т тростника. Для этого нужно дробь 0,15 умножить на 10: 0,15-10 т=1,5 т. Следовательно, 15% от 10 т составля­ет 1,5 т.

Билет №12

1.Определение. Пусть B подмножество A. Дополнением множества В до множества А называется множество, содержащее только те элементы множества А, которые не принадлежат множеству В.А(1,2,3,5),B(1,5),А/B(2,3)

2. Определение. Разностью целых неотрицательных чисел a и b называется такое целое неотрицательное число с, сумма которого и числа b равна а.

Теорема. Разность целых неотрицательных чисел а и b суще­ствует тогда и только тогда, когда Ь<а.

Теорема. Если разность целых неотрицательных чисел а и Ь существует, то она единственна.

Билет №13

1. Высказыванием называется предложение, относительно кото­рого имеет смысл вопрос, истинно оно или ложно.

Считают, что высказывание вида «А и В» истинно, если истин­ны оба высказывания АиB. Если же хотя бы одно из них ложно, то высказывание «А и Б» ложно.

Обратимся теперь к высказываниям вида «А или В». Считают, что око истинно, если истинно хотя бы одно из высказываний А и В. Высказывание «А или В» ложно, когда ложны оба высказы­вания АиВ. Отрицанием высказывания А называется высказыва­ние А, которое истинно, если высказывание А ложно, и ложно, когда А истинно.

Высказывательная форма — это предложение с одной или несколькими переменными, которое обращается в высказы­вание при подстановке в него конкретных значений переменных.(если две переменные, то двухместная высказывательная форма ,если одна-одноместная).

(число 102 четное и делится на 9, число 102 четное или делится на 3, неверно,что число 102 нечетное и не делится на 9)

2.Объединение множества положительных рациональных чисел Q + и множества положительных иррациональных чисел I₊ называют множеством положительных действительных чисел и обозначают символом R + .Определение. Суммой положительных действительных чисел а и b называется такое числоа+Ь, которое удовлетворя­ет следующему неравенству: ak+bk<a+b<a’k+b’k

Найдем, например, сумму корень из 2 + корень из 3 с точностью до 0,001. Возьмем десятичные приближения данных чисел с точностью до 0,0001:

1,4142<корень 2< 1,4143,

1,7320 <корень 3< 1,7321.

Тогда 3,1462<корень 2+ корень 3<3,1464, a корень 2 + корень 3 = 3,146.... С точ­ностью до 0,001 сумма корень 2 + корень 3 равна 3,146.

Определение. Произведением положительных действи­тельных чисел а и b называется число a*b, которое удовлетво­ряет следующим условиям:

аk • bk<ab<a’k • b'k.

Найдем, например, произведение корень 2*корень 3 с точностью до 0,1. Возьмем десятичные приближения данных чисел с точностью до 0,01:

1,41 <корень 2<1,42,

1,73<корень 3<1,74.

Тогда 2,4393<корень 2*корень 3<2,4708, а корень 2*корень 3 = 2,4... . С точностью до 0,1 произведение равно 2,4.