Билет №8

1.Определение. Разделить с остатком целое неотрицательное число а на натуральное число b — это значит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что a = bq+r и 0<г<b.

Теорема. Для любого целого неотрицательного числа а и натурального числа Ь существуют целые неотрицательные чис­ла q и r, такие, что a = b*q+r,0<r<b. Пара целых неотрицательных чисел (q, r), обладающая этим свойством, един­ственная.

Выясним, каков теоретико-множественный смысл деления с остатком.

Пусть а = п(А) и множество А разбито на множества А1, А₂, ,..,A_q, X так, что множества А1, А2, ...,A_q равномощны н содержат по Ь элементов, а множество X содержит меньше элементов, чем каждое из множеств А1, А₂, ..., Аq,, например п(Х)=r. Тогда a =bq+r, где O<r<b. Таким образом, неполное частное q — это число равномощных подмножеств (в каждом из которых b эле­ментов) в разбиении множества А, а остаток г — это число эле­ментов в множестве X

2.Определение.Если положительные рациональные числа a и b представлены дробями m/n и p/n, то суммой чисел a и b называется число, представляемое дробью m+p/n.

Сложение положительных рациональных чисел подчиняется пе-реместительному и сочетательному законам:

a+Ь = Ь + а для любых a, b належить Q+;

(a+b)+c = a+(b+c) для любых a, b, c належитьQ+.

Определение. Разностью положительных рациональных чи­сел а и Ь называется такое положительное рациональное число с, что а = Ь+с.

Билет №9

1. В математике часто приходится рассматривать те или иные группы объектов как единое целое: числа от 1 до 10, натураль­ные числа, однозначные числа, треугольники, квадраты и т. д. Все эти различные совокупности называют множествами.

В некоторых случаях множества обозначают буквами латин­ского алфавита: Л, В, С, ..., Z. Множество, не содержащее ни одного объекта, называют пустым и обозначают знаком 0.

Объекты, из которых образовано множество, называют его элементами. Элементы множества принято обозначать строчными буквами латинского алфавита: а, Ь, с, .... г.

Множества бывают конечные и бесконечные. Так, множество дней педели конечно, а множество точек на прямой бесконечно. Бесконечными являются и такие множества, как множество на­туральных чисел, множество целых чисел, множество рациональ­ных чисел, множество действительных чисел. Для этих множеств в математике приняты специальные обозначения: буковой N обо­значают множество натуральных чисел, Z — множество целых чисел, Q — множество рациональных чисел, R — множество действительных чисел.

множество задано, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству либо не принадлежит.

Множество можно задать, перечислив все его элементы. На­пример, если мы скажем, что множество А состоит из чисел 3, 4,5 и б

Однако если множество бесконечно, то его элементы пере­числить нельзя. Трудно задать таким способом и конечное множе­ство с большим числом элементов. В таких случаях применяют другой способ задания множеств: указывают характеристическое свойство его элементов.

Характеристическое свойство — это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит. Рассмотрим, например, множество А двузначных чисел. Свой­ство, которым обладает любой элемент данного множества,— «быть двузначным числом».

2. Пусть даны отре­зок а и единичный отрезок е, причем отрезок е является суммойпотрезков, равныхe1. Если отрезок а состоит из т отрезков, равных е1, то его длина может быть представлена в виде m/n е. Символ m/n назы­вают дробью, в нем mиn — натуральные числа. Читают этот сим­вол «эм энных».

Определение. Дроби, выражающие длину одного и того отрезка при единице длины е, называют равными дробями.(14/4=28/8)

Для того чтобы дроби m/n и p/q были равны, необходимо и достаточно, чтобы mq=np.Покажем, что m/n=p/q>тq =np. Так как —m/n=mq/nq для любого натурального q, а p/q=pn/qnдля любого натуральногоп, то из равенства дробей m/n=p/q и следует равенство mq/nq=pn/nq ,из кото­рого, в свою очередь, вытекает, чтоmq — np.