3Общая характеристика биологических сигналов и медико-биологических данных
3.1Случайный сигнал и случайная величина
Отличительной чертой случайного сигнала является то, что его мгновенное значение заранее непредсказуемо, вероятные законы возникают всегда, если физическая система, порождающая случайный сигнал, представляет собой объединение большого числа более мелких подсистем, совершающих индивидуальные действия в большей или меньшей степени независимо друг от друга. В медицине, биофизике и радиотехнике случайные сигналы часто имеют вид шумов. Это хаотически изменяющиеся во времени электромагнитные колебания, наблюдаемые в разнообразных физических системах, где носители заряда, например, электроны, совершают беспорядочные движения. К математической модели случайного сигнала прибегают также в теории информации для вероятного описания закономерностей, присущих осмысленным сообщениям. Наконец, статистическую природу имеют сигналы в лазерных линиях связи, здесь принципиально необходимо учитывать специфический квантовый шум.
3.2Одномерные случайные сигналы. Функция распределения и плотность вероятности
Пусть X - случайная величина, т.е. совокупность всевозможных вещественных значений x, принимающих случайное значение. Описание статистических свойств X можно получить, имея неслучайную функцию F(x) вещественного аргумента x, которая равна вероятности того, что случайное число из X примет значение, равное или меньшее конкретного x.
F(x)=P(X x), где функция F(x) называется функцией распределения случайной величины X.
Если X может принимать любые значения, F(x) является гладкой неубывающей функцией, значения которой лежат на отрезке 0 F(x) 1, при этом имеет место следующие предельные равенства:
F(-∞)=0; F(∞)=1.
Производная от функции распределения
P(x)=
является плотностью распределения
вероятности, т.е. величина P(x)*dx
- есть вероятность попадания случайной
величины X в полуинтервал
(x, x+dx].
3.3Усреднение. Моменты случайной величины
Результатами экспериментов над случайными величинами служат средние значения тех или иных функций от этих величин. Если φ(x) - известная функция от x (исхода случайного испытания), то ее среднее значение будет равно
φ(x) =
φ(x)*p(x)dx..
В статистической медицине и биофизике широко применяются числовые характеристики случайных величин, называемые их моментами. Момент n-го порядка случайной величины X - есть среднее значение n-ной степени случайной переменной.
mn=
n=
xn*p(x)dx
.
Моментом первого порядка является математическое ожидание
m1= = x*p(x)dx .
Математическое ожидание служит теоретической оценкой среднего значения случайной величины. Момент второго порядка является квадратом среднего значения случайной величины.
m2= 2= x2*p(x)dx .
Используя центральные моменты случайной величины, получим следующую формулу:
μn=
n=
n
* p(x)dx
.
Важнейшим центральным моментом является дисперсия:
σx2= μ2= 2 (1)
σx2=
=
2-(
)2.
Рассмотренная величина σx=
является
средним квадратичным отклонением.
3.4Равномерное распределение случайной величины
Пусть некоторая случайная величина X принимает значения, принадлежащие лишь отрезку
Xє x1 x x2, причем вероятности попадания в любые внутренние интервалы одинаковой ширины ∆x равны. Тогда плотность вероятности:
p(x)=
;
Функцию распределения находят путем интегрирования:
F(x)=
p(ξ)dξ=
.
Математическое ожидание:
=
совпадает с центром отрезка [x1,x2].
Дисперсия случайной величины: σx2=(x2-x1)2/12, если случайная величина имеет равномерное распределение вероятности.