4.2Критерий Неймана-Пирсона.

В задачах, относящихся к обнаружению сигнала в помехах, широко применяется критерий Неймана-Пирсона, при использовании этого критерия на определенном уровне фиксируется вероятность ложного обнаружения и выбирается такое правило решения, при котором вероятность пропуска сигнала имеет минимальную величину.

Таким образом:

α= С=const; β=β_min=min[ 1- ].

Для использования критерия Неймана-Пирсона должна быть задана вероятность ложных тревог α и известны плотности вероятности ω_n(u) и ω_sn(u), а следовательно соответствующие законы распределения. Обнаружители, удовлетворяющие критерию Неймана-Пирсона можно рассматривать как оптимальные, т.к. они обеспечивают получение наилучших вероятных характеристик.

4.3Алгоритмы обнаружения.

При проверке статистических гипотез, относящихся к задачам обнаружения, применяется как параметрические, так и непараметрические гипотезы. Различия между ними определяются функциями распределения результатов наблюдений. Гипотезы называют параметрическими, если они относятся только к конечному числу постоянных, определяющих распределение. Такие константы называют параметрами с тем, чтобы отличить их от соответственно выбранных величин. Так гауссовское нормальное распределение характеризуется двумя параметрами: математическим ожиданием и дисперсией σ². Во всех случаях, когда функции распределения известны приходиться иметь дело с параметрическими гипотезами. Гипотезы могут быть сложными и простыми, если в задаче, относящейся к проверке статистических гипотез число параметров, характеризующих распределение-l, а k из них имеют заданное значение, то гипотеза является простой, когда l=k и k l . Существует также класс статистических гипотез, отличных от параметрических, такие гипотезы называют непараметрическими, эти гипотезы нельзя охарактеризовать конечным числом параметров. Алгоритмы, используемые для проверки соответствующего класса гипотез также можно разделить на параметрические и непараметрические. Наиболее часто параметрические алгоритмы используют в предположении гауссовском нормальном распределении. Непараметрические алгоритмы используют для обнаружения сигналов, имеющих незначительное наблюдение величин, а ту или иную форму их упорядоченности. Если результаты наблюдений имеют случайный характер, то это говорит об отсутствии сигнала на интервале наблюдений. Важнейшим свойством непараметрических алгоритмов является постоянство ложного обнаружения при произвольных законах распределения помехи. Использование непараметрических алгоритмов не требует знания функции распределения. В число непараметрических алгоритмов входят знаковые, ранговые и знаково-ранговые, а также их разновидности.

Знаковыми называют алгоритмы, использующие только знаки элементов выборки. Для стационарной помехи с симметричной относительно 0 функцией распределения число "+" и "-"знаков выборки одинаково и не зависит от вида помех. При наличии на фоне помех сигнала с "+" знаком вероятность появления в выборке элементов с "+" знаками больше вероятности появления элементов с "-" знаками, что может быть использовано для обнаружения сигнала. Согласно знаковому алгоритму альтернативная гипотеза М₁ о наличии "+" сигнала признается верной, если для независимой выборки:

x=(x₁, x₂,…x_n);

где sgn - знак "+" или "-".

Здесь С- выбранный порог, определяемый заданным значением вероятности α, а знаковая функция:

sgn x_i= (1).

При неравенстве обратном (1) альтернативная гипотеза М₁ отвергается и принимается М₀ об отсутствии сигнала. Знаковые алгоритмы могут быть односторонними и двусторонними. При односторонних алгоритмах, правило выбора решения сводится к проверке превышения заданного порога с общим числом элементов выборки какой-либо одной полярности. Рассматриваемый алгоритм (1) является односторонним алгоритмом для "+" сигнала, для двустороннего алгоритма учитываются оба знака, т.е. проверяется гипотеза, согласно которой общее число отрицательных элементов выборки превосходит некоторый порог.

Ранговые алгоритмы учитывают наличие отклонений элементов выборки от элементов случайной помеховой выборки. Рангом R_i элемента выборки x_i называют число элемента выборки n меньших или равных x_i . Ранг-порядковый номер элемента в ранжированном, т.е. упорядоченном по убыванию или возрастанию вариационном ряду.

Пусть имеется выборка из 5 элементов случайного вида:

x1	x2	x3	x4	x5
4	3	13	8	5

Если элементы этой выборки расположить в порядке возрастания от меньшего к большему: 3 4 5 8 13 (x₂, x₁, x₅,x_4, x₃).

Тогда в соответствии с определением ранг R₅ элемента x₅ в данной выборк5е равен 3.

Если гипотеза М₀ об отсутствии сигнала верна и наблюдаются только шумы, то при независимости и однородности выборки значения рангов равновероятны при любых функциях распределения.

Поэтому алгоритмы, использующие ранговую статистику, являются непараметрическими. Если в выборке создается смесь сигнала и шума, значения рангов уже не является равновероятными, вследствие возникающей при этом неоднородности выборки. Это и позволяет использовать ранговые алгоритмы для обнаружения сигналов.

Примером рангового алгоритма может служить соотношение для случая детерминированного сигнала s=s(t) , не содержащего постоянной составляющей на фоне аддитивной стационарной помехи, согласно которой принимается альтернативная гипотеза М₁, если:

,

где S_i=s(t_i); Ri - ранг i=1…n , φ(k) - некоторая функция целочисленного аргумента k=1,…n и т.д.

В знаково-ранговых обнаружителях используется информация не только о знаках элементов выборки, но и о рангах абсолютных величин наблюдений. Учет знаков позволяет улучшить характеристики обнаружения без нарушения непараметрических свойств обнаружителя.

Рассмотрим независимую выборку x=(x₁, x₂,…x_n), для которой ранг R_i - это ранг абсолютной величины элемента x_i . Одна из возможностей обнаружителя постоянного сигнала на фоне помех с помощью знаково-рангового алгоритма заключается в сравнении с некоторым выбранным порогом С суммы тех компонентов вектора положительных рангов R_i⁺, которые составляют положительные выбранным значениям элементов x_i , т.е. x_i больше 0 решение о наличии сигнала выносится, когда , x_i больше (1). При этом порог С также как и в других случаях выбирается исходя из заданной вероятности α. Алгоритм (1) называют алгоритмом Вилкоксона.