7.4Непараметрические критерии

Часто приходится иметь дело не только с количественными, но и с качественными признаками, многие из которых выражаются порядковыми номерами, индексами и др. условными знаками. В этих случаях необходимо использовать непараметрические критерии.

Известен целый ряд непараметрических критериев, среди которых видное место занимают ранговые критерии

X-критерий Ван-Дер-Вардена. Он относится к группе ранговых критериев, его применяют для проверки нулевой гипотезы при сравнении независимых выборок.

Техника расчетов Х-критерия сводится к следующему: сравниваемые выборки ранжируют в один общий ряд по возрастающим значениям признака. Затем каждому члену ряда присваивают порядковый номер, отмечающий его место в общем ранжирующем ряду. Далее по порядковым номерам одной из выборок, обычно меньшей по объему, находят отношение , где N+1=n₁+n₂+1, т.е. увеличенная на единицу сумма всех членов сравниваемых групп, а R – ранг (порядковый номер). С помощью специальной таблицы находят значение функции для каждого значения .

Суммируя результаты (с учетом знака), получают величину , которую сравнивают с критической точкой этого критерия Х_st для принятого уровня значимости α и общего числа членов сравниваемых выборок N.

Нулевая гипотеза сводится к предположению, что сравниваемые выборки извлечены из генеральных совокупностей с одинаковыми функциями распределения. Если окажется, что , то нулевая гипотеза должна быть отвергнута на принятом уровне значимости.

U-критерий Уилкоксона (Манна-Уитни). Проверяя нулевую гипотезу о принадлежности сравниваемых независимых выборок к одной и той же генеральной совокупности или к совокупностям с одинаковыми параметрами.

Для расчета U-критерия необходимо:

1. расположить числовые значения в один общий ряд и пронумеровать члены общего ряда от 1 до n, N=n₁+n₂ (эти номера и будут рангами членов ряда).

2. отдельно для каждой выборки найти сумму рангов и определить величины

которые отображают связь между суммами рангов первой и второй выборок.

3. в качестве U-критерия использовать меньшую величину U_ф, которую сравнить с табличным значением U_st.

Условием, при котором нулевую гипотезу отвергают, служит неравенство U_ф> U_st.

Критические точки для U-критерия находят по таблице.

Критерий знаков. В тех случаях, когда результаты наблюдений выражаются не числами, а знаками «плюс» и «минус», различия между попарно связанными членами оценивается с помощью критерия знаков z.

Суть данного критерия сводиться к следующему: Если попарно сравниваемые значения двух зависимых выборок существенно не отличаются друг от друга, то число плюсовых и минусовых разностей окажется одинаковым, если заметно преобладают «+» или «–», это будет указывать на положительное или отрицательное действие изучаемого фактора на изучаемый признак.

z-критерий, как и любой другой показатель, является случайной величиной. Он служит для проверки нулевой гипотезы о том, что совокупности, из которых взяты сравниваемые выборки, имеют одну и ту же или одинаковые распределения.

Нулевая гипотеза отвергается, если z_ф≥z_st, для принятого уровня значимости и числа парных наблюдений n, взятых без нулевых разниц. Критические точки для этого критерия также находят по таблице.

Т-критерий Уилкоксона применяют, когда члены сравниваемых выборок связаны попарно некоторвми общими условиями (зависимые выборки). Также этот критерий называют парным критерием Уилкоксона.

Т-критерий рассчитывают следующим образом:

1. ранжируют попарные разности в один общий ряд. При этом нулевые разности в расчет не принимают, а все остальные, независимо от знака, ранжируют так, чтобы наименьшая абсолютная разность получила первый ранг, причем одинаковым по величине разностям присваивают один и тот же ранг.

2. находят отдельно суммы положительных и отрицательных разностей. Меньшую из двух сумм разностей без учета знака используют в качестве фактически установочной величины Т-критерия.

3. Сравнивают Т_ф с критическим значением T_st для принятого уровня значимости α и числа парных наблюдений, которые берут без нулевых разностей. Нулевую гипотезу отвергают, если Т_ф> T_st.

Критические значения берутся из таблицы.