5Фильтрация сигналов

Осуществление частичной или полной фильтрации означает создание препятствий для прохождения каких-либо объектов . Например, фильтр, помещенный в канал, по которому движется жидкость затрудняет проход тех или иных тел, загрязняющих ее. При исследовании сигналов имеет место временная и частотная фильтрация.

5.1Временная фильтрация.

В общем случае временная фильтрация определяется как операция прерывания или ослабления сигнала. Например, прерыватель, вмонтированный в громкоговоритель радиоприемника, и потенциометрический аттенюатор, регулирующий мощность звука, являются фильтрами. Фильтрация сигнала x(t) с помощью фильтра сводится к нахождению произведения x(t)*f(t). Фурье-образ x(ν) сигнала x(t) после временной фильтрации изменится. Для нахождения Фурье-образа результирующего сигнала достаточно использовать теорему Планшереля.

Имея x(t)*f(t) X(ν)+F(ν), рассмотрим прямоугольный фильтр f(t). Фурье-образ F(ν) функции f(t) имеет вид:

Чтобы найти Фурье-образ результирующего сигнала необходимо подсчитать свертку функций X(ν) и F(ν).

Обрезание некоторого временного участка сигнала x(t) приводит к изменению спектра сигнала. Можно утверждать, что временный фильтр - является временным умножителем.

5.2Частотная фильтрация.

Операция фильтрации может быть использована и для частотного представления сигнала. Результат частоты фильтрации, типа, пропускание полосы, представлен на рисунке.

В данном примере H(ν) является произвольным фильтром. Однако нахождение произведения H(ν)*X(ν) не может быть реализовано при временном представлении сигнала, поскольку датчики регистрируют функцию x(t). В этом случае, используя теорему Планшереля можно перейти от произведения изображений к свертке оригиналов. Для этого:

X_f(ν)=X (ν)*H(ν)- т.е. свертка.

x_f(ν)=x (ν)*h(ν)= ,

где X_f(ν) - Фурье-образ сигнал после частотной фильтрации H(ν).

Для реализации фильтрации необходимо пропустить сигнал x(t) через линейную систему с импульсным откликом h(t) H(ν), тогда на выходе системы будем иметь результирующий сигнал такого вида:

S(t)= , причем S(ν)=X(ν)*H(ν).

В данном случае S(ν)- произведение или свертка сигнала и фильтра.

5.3Связь между фильтрацией и сверткой.

1. Временная фильтрация эквивалентна частотной свертке (свертка Фурье-образов).

2. Частотная фильтрация эквивалентна временной свертки (свертка временных функций).

Существуют устройства, которые реализуют операцию свертки.

С ледовательно умножителю относительно преобразования Фурье соответствует свертыватель и наоборот. Изменение временного представления сигнала x(t) будет приводить к изменению его частотного представления и наоборот.

5.4Физически реализуемые линейные фильтры частоты.

Любая физическая система имеет импульсный отклик h(t), удовлетворяющий равенству h(t) 0, для t<0.

Имеем: h(t) H(ν)= , где φ(ν)- фаза отклика и она не 0

Пусть e(t) и s(t) соответственно входные и выходные сигналы для Фильтра e(t) E (ν) и s(t) ) S (ν), тогда

S(ν)= E (ν)* H (ν)= E (ν)* .

Из этого равенства следует, что любой реализуемый фильтр осуществляет сдвиг фазы.

5.5Идеальный фильтр.

Фурье – образ импульсного отклика такого фильтра должен быть вещественным.

И з свойств четности преобразования Фурье следует, что импульсный отклик фильтра должен быть четной функцией, т.е. симметричен относительно оси t=0.

Физическая реализация такого фильтра невозможна.