3. Час знаходження заявки в черзі

Однією з основних характеристик ефективності роботи СМО з чергою є час знаходження заявки в черзі, тобто час очікування початку обслуговування. Це є випадкова величина, позначимо її через Y і знайдемо її закон розподілу.

Ймовірність – це ймовірність того, що час знаходження заявки в черзі більше проміжку часу τ. Для знаходження цієї ймовірності застосовуємо формулу повної ймовірності:

,

де – ймовірність того, що на момент часу t, коли заявка потрапила в СМО, там знаходиться k заявок, а – умовна ймовірність того, що час знаходження заявки в черзі більше проміжку часу τ, якщо на момент t, коли заявка потрапила в СМО, там знаходилось k заявок. Очевидно, що чекати слід тільки тоді, коли . Отже,

. (3.10)

Припустимо, що на момент надходження заявки в СМО знаходиться заявок. Оскільки дисципліна черги найпростіша, то нова заявка почне обслуговуватись після того, як будуть обслуговані заявки.

Позначимо через ймовірність того, що за час закінчить обслуговування i заявок. Тоді за теоремою додавання ймовірностей

, (3.11)

оскільки час очікування буде більшим за тільки в тому випадку, коли за цей час закінчить обслуговування не більше ніж заявок.

Час обслуговування заявки має показниковий закон розподілу з параметром μ. Отже, ймовірність того, що час обслуговування каналом однієї заявки, буде більшим за τ, дорівнює . Це означає, що з ймовірністю за час τ даний канал не звільниться. Внаслідок незалежності роботи каналів, ймовірність того, що за час τ не звільниться жоден з n каналів, дорівнює:

. (3.12)

Процес звільнення каналів є найпростішим (це твердження є наслідком показникового закону розподілу часу обслуговування). З формули (3.12) випливає, що параметр цього процесу . Отже, ймовірність того, що за час τ обслуговування закінчить рівно і заявок, дорівнює:

.

Підставимо цей вираз в формулу (3.11), а потім (3.10) і одержимо:

.

Міняємо порядок підсумовування і одержуємо:

.

Отже,

.

Очевидно, що при . Отже функція розподілу часу знаходження заявки в черзі має вигляд:

.

Щільність розподілу ймовірностей часу знаходження заявки в черзі:

.

Середній час очікування обслуговування дорівнює математичному сподіванню часу знаходження заявки в черзі:

.

Отже,

. (3.13)

Якщо , то середній час очікування обслуговування .

Використовуючи формули (3.7) і (3.13) знайдемо зв’язок між середнім часом перебування заявки в черзі та середнім числом заявок в черзі :

.

Це є друга формула Литтла (1.10), що розглядалась в розділі І. За першою формулою Литтла (1.9) можна знайти середній час перебування заявки в системі:

,

( шукається за формулою (3.9).

Питання для самоконтролю

1. Яким процесом описується СМО з очікуванням?

2. Як виводяться формули для перехідних ймовірностей?

3. Який вигляд має розмічений граф станів для СМО з очікуванням?

4. Запишіть систему рівнянь Колмогорова для СМО з очікуванням.

5. Яка умова є необхідною для існування усталеного режиму роботи СМО та її зміст?

6. Виведіть основні формули для СМО з очікуванням в усталеному режимі.

7. Чому дорівнює ймовірність очікування обслуговування та середнє число заявок в черзі?

8. Який вигляд має функція розподілу часу знаходження заявки в черзі?

9. Сформулюйте формулу Литтла.