УДК 519

І.А. Рудоміно-Дусятська, Ю.Г. Сікорський

Системи масового обслуговування. Навчальний посібник.

Навчальний посібник написаний відповідно до програми дисципліни «Вища математика» розділу «теорія ймовірностей».

Даний посібник містить класичні моделі систем обслуговування. Теоретичний матеріал супроводжується розв’язуванням типових задач. Наведено достатню кількість задач для проведення практичних занять. Посібник призначений для курсантів та студентів технічних вищих навчальних закладів. Може бути корисним для ад’юнктів.

Рекомендовано до друку Вченою радою інституту, протокол № 14 від 25 травня 2012 року.

Передмова

Теорія масового обслуговування (теорія черг, як прийнято її називати в англомовних країнах) – один з нових розділів теорії ймовірностей.

Перші задачі цієї теорії розглядались датським вченим Агнером Крарупом Ерлангом (1878-1929), співробітником Копенгагенської телефонної компанії, у зв’язку з необхідністю впорядкування роботи телефонної станції. Необхідно було знайти спосіб визначення числа телефонних каналів для забезпечення задовільного обслуговування абонентів. Складність цієї задачі полягала в тому, що число викликів, що поступають на телефонну станцію за певний проміжок часу, та тривалість розмови мають випадковий характер.

Згодом стало зрозуміло, що схожі задачі виникають і в інших областях. Прикладами таких задач служать задачі аналізу роботи супермаркетів, системи ПВО, системи швидкої допомоги і т.д.

Методи теорії масового обслуговування дозволяють знаходити основні кількісні характеристики процесів масового обслуговування для оцінки якості роботи систем обслуговування.

В даному посібнику розглянуті класичні моделі задач для систем масового обслуговування з відмовами, з чергою та змішаного типу з обмеженням на довжину черги та час очікування початку обслуговування.

Задачі наведені в кінці посібника мають відповіді, а деякі вказівки.

В додатках наведені таблиці пуасонівського розподілу.

І. Основні поняття теорії масового обслуговування

1. Поняття системи масового обслуговування

Кожна система масового обслуговування (СМО) складається з наступних елементів:

• вхідний потік заявок;

• система обслуговування;

• вихідний потік заявок.

Вхідний потік заявок – це сукупність заявок, що поступають в систему обслуговування.

Система обслуговування обслуговує заявки. Вона може складатися з одного або декількох каналів. Під каналом обслуговування розуміють сукупність пристроїв, що забезпечать обслуговування однієї заявки.

Робота кожного каналу характеризується часом, яке потрібне для обслуговування однієї заявки. Після того як канал звільнюється, він готовий до прийому наступної заявки. Будемо вважати, що канали, які входять до системи обслуговування, однакові і незалежні.

Вихідний потік заявок – це сукупність заявок, що виходять з системи обслуговування. В цьому потоці можуть бути заявки, що отримали обслуговування, так і ті, що обслуговування не отримали. Інколи вихідний потік заявок є вхідним для іншої СМО.

2. Класифікація смо

Класифікувати СМО можна за різними критеріями.

1. За характером джерела заявок СМО ділять на замкнені та відкриті.

В першому випадку в системі циркулює скінченне, як правило стале число заявок, які після завершення обслуговування потрапляють в джерело заявок. Наприклад, цех з постійною кількістю верстатів, які можуть псуватись і вимагають ремонту.

В другому випадку джерело генерує нескінченне число заявок. Наприклад, мережа Internet з нескінченою кількістю заявок на вході, довільний супермаркет і т. д.

2. За числом етапів обслуговування СМО ділять на однофазні та багатофазні. Прикладом багатофазних СМО може бути довільна поточна лінія.

3. За часом перебування заявок до початку обслуговування СМО ділять на:

• системи з відмовами;

• системи з очікуванням;

• системи змішаного типу.

В системі з відмовами заявка або обслуговується одразу, якщо принаймні один з каналів обслуговування є вільним, або отримає відмову і покидає СМО. Прикладом такої системи служить АТС. Абонент, що обслуговується СМО або одразу починає обслуговуватись, або отримає відмову, якщо лінія зв’язку вже зайнята.

В системах з очікуванням, заявки, що поступають в СМО, або одразу обслуговується, якщо принаймні один з каналів обслуговування є вільним, або стають в чергу і очікують обслуговування. Заявка може покинути систему тільки після обслуговування. Прикладом такої системи є система обслуговування літаків при посадці на аеродром.

Зустрічаються СМО змішаного типу з обмеженням довжини черги. Заявки, що поступають на СМО такого типу або одразу обслуговуються, якщо є принаймні один вільний канал обслуговування, або стають в чергу і очікують обслуговування, якщо черга не перевищує певної довжини. Якщо черга вже досягла певної довжини, то заявка отримує відмову і покидає СМО. Під довжиною черги розуміють число заявок, що очікують обслуговування. Прикладом СМО змішаного типу з обмеженням довжини черги є авторемонтна майстерня.

Можливі СМО змішаного типу з обмеженням часу очікування. В таких СМО заявка очікує початку обслуговування певний час. Якщо цей час закінчився, а обслуговування не почалось, то заявка отримує відмову і покидає СМО. Прикладом такої системи є міжміський телефонний зв’язок. Обмеження може накладатись на весь час перебування заявки в системі. Якщо час перебування заявки в системі (він складається з часу очікування і часу обслуговування) перевищить деяку величину, то заявка покидає систему. Наприклад, система ППО є СМО з обмеженим часом перебування заявки (цілі) в системі.

4. СМО з очікуванням та змішаного типу відрізняються дисципліною обслуговування. Під дисципліною обслуговування розуміють спосіб по якому вибирається на обслуговування одна заявка із тих, що очікують. Основними різновидами дисципліни обслуговування є наступні:

• найпростіша. Заявки обслуговуються в порядку надходження в СМО;

• пріоритетна. В першу чергу обслуговуються заявки, що мають вищий ступінь пріоритету;

• випадкова. Заявки обслуговуються у випадковому порядку.