- •Передмова
- •І. Основні поняття теорії масового обслуговування
- •Поняття системи масового обслуговування
- •Класифікація смо
- •Вхідний потік заявок
- •Час обслуговування
- •Ланцюг Маркова
- •Деякі критерії ефективності роботи смо
- •Іі. Смо з відмовами
- •Марковський процес, що описує смо з відмовами
- •Усталений режим роботи смо з відмовами
- •Ііі. Смо з очікуванням
- •Марковський процес, що описує смо з очікуванням
- •Усталений режим роботи смо з очікуванням
- •Час знаходження заявки в черзі
- •VI. Смо змішаного типу
- •Марковський процес, що описує смо змішаного типу з обмеженням довжини черги
- •Усталений режим роботи смо змішаного типу з обмеженням на довжину черги
- •Час знаходження заявки в черзі
- •Марковський процес, що описує смо змішаного типу з обмеженим часом очікування в черзі
- •4.5 Усталений режим роботи смо змішаного типу з обмеженням часу очікування обслуговування
- •V. Розв’язування типових задач
Усталений режим роботи смо з відмовами
З формули (2.1) випливає, що при всіх існують границі
. (2.2)
Формули (2.2) означають, що, якщо СМО попрацювала досить довго після початкового моменту , то практично ймовірності перестають залежати від часу, і СМО при великих t працює в усталеному режимі. Числа називають фінальними ймовірностями. Для їх знаходження в системі Ерланга перейдемо до границі при . Враховуючи , маємо систему алгебраїчних рівнянь:
. (2.3)
Умова нормування приймає вигляд: .
Для розв’язання системи (2.3) зробимо заміну:
.
Звідси,
,
,
.
Система (2.3) приймає вигляд:
.
Отже, . Звідси отримуємо:
; ; … , .
Для знаходження використовуємо умову нормування:
.
Тоді,
. (2.4)
Позначимо через . Параметр – щільність завантаження системи, оскільки він дорівнює середньому числу заявок, що поступили в СМО за середній час обслуговування однієї заявки.
Отже ймовірності (ймовірності того, що в системі зайняті k каналів) можна знайти за формулами:
. (2.5)
Ймовірність – це ймовірність того, що всі канали зайняті, а, отже, це ймовірність відмови. З формули (2.5) маємо:
. (2.6)
Ймовірність обслуговування (відносна пропускна спроможність СМО) дорівнює:
.
Абсолютна пропускна спроможність СМО, тобто середнє число заявок, що обслуговує СМО за одиницю часу
. (2.7)
Середнє число зайнятих каналів дорівнює математичному сподіванню числа зайнятих каналів, а, отже:
. (2.8)
З формул (2.7) і (2.8) маємо:
. (2.9)
Формула (2.9) має місце і для інших видів відкритих СМО.
Зауваження. Для підрахунку ймовірностей можна користуватись таблицями 1 і 2 пуасонівського розподілу, що наведені в додатках. Для цього формули (2.5) записуємо у вигляді:
. (2.10)
Питання для самоконтролю
Яким процесом описується СМО з відмовами?
Як виводяться формули для перехідних ймовірностей?
Який вигляд має розмічений граф станів для СМО з відмовами?
Запишіть систему рівнянь Колмогорова для СМО з відмовами.
Що таке щільність завантаження системи?
Виведіть основні формули для СМО з відмовами в усталеному режимі.
Чому дорівнює ймовірність того, що заявка не буде обслугована?
Яке середнє число зайнятих каналів?
Ііі. Смо з очікуванням
Марковський процес, що описує смо з очікуванням
СМО складається з n каналів обслуговування. Починаючи з моменту часу на вхід СМО поступає найпростіший потік заявок з інтенсивністю λ. Якщо є вільні канали, то заявка починає обслуговуватись одним каналом, якщо всі канали зайняті, то заявка стає в чергу. Обмежень на довжину черги немає, дисципліна обслуговування найпростіша. Час обслуговування Т має показниковий закон розподілу з параметром μ, причому будемо вважати, що час обслуговування даної заявки не залежить від часу обслуговування інших заявок та від інших заявок, що поступають.
Робота СМО описується випадковим процесом – кількістю заявок в системі в момент часу t. Частина цих заявок може обслуговуватись, інші очікують обслуговування в черзі. Можливими значеннями цього процесу є числа 0, 1, 2, …, n, …. Так само, як в попередньому розділі, неважко переконатись в тому, що випадковий процес є однорідним ланцюгом Маркова з дискретною множиною значень і неперервним часом.
Якщо , тобто в момент часу t в системі знаходиться k заявок, то будемо вважати, що система знаходиться в стані . Позначимо через ймовірність того, що в момент часу t система знаходиться в стані , тобто
.
Позначимо через перехідну ймовірність, тобто ймовірність того, що за час система перейшла із стану в стан . Асимптотичні формули для при такі самі, як і для СМО з відмовами. При формули будуть відрізнятись.
Ймовірність – це ймовірність того, що за час в СМО замість k заявок стало k +1 заявки. Це може відбутись, якщо за час поступила одна заявка (ймовірність ) і жоден з n канал не звільнився (ймовірність , або поступили s заявки (ймовірність ) і s – 1 канал з n зайнятих каналів звільнились (ймовірність ). Отже, ймовірність дорівнює:
.
Ймовірність – це ймовірність того, що за час в СМО замість k заявок стало k –1 заявки. Це може відбутись, якщо за час не поступила жодна заявка (ймовірність ) і один з n каналів звільнився (ймовірність , або поступили s заявки (ймовірність ) і s +1 канал звільнився (ймовірність ). Отже, ймовірність дорівнює:
.
Аналогічно знаходимо, що .
Розмічений граф станів для процесу має вигляд:
Стан Еn+m означає, що n заявок обслуговуються, а m знаходяться в черзі. Використовуючи даний граф та мнемонічне правило, запишемо систему диференціальних рівнянь для :
.
Природно припустити, що
.
Умова нормування буде мати вигляд: .