6. Деякі критерії ефективності роботи смо

Під ефективністю роботи СМО розуміють здатність системи обслуговувати заявки. Можливі різні критерії оцінки ефективності роботи СМО. Вибір критеріїв визначається умовами задачі та цілями дослідження. Найбільш часто використовують наступні критерії:

• ймовірність відмови, тобто ймовірність того, що заявка не буде обслугована ;

• відносна пропускна спроможність СМО, тобто ймовірність обслуговування заявки, що поступила на СМО, ;

• абсолютна пропускна спроможність СМО, тобто середнє число заявок, що обслуговує СМО за одиницю часу (λ – середнє число заявок, що поступили за одиницю часу);

• середнє число зайнятих каналів ;

• середня довжина черги ;

• середнє число заявок в СМО ;

• середній час перебування заявки в черзі ;

• середній час перебування заявки в СМО (в черзі та під обслуговуванням) .

Очевидно, що середній час перебування заявки в системі дорівнює сумі середнього часу знаходження заявки в черзі та середнього часу обслуговування:

.

Для довільної відкритої СМО в граничному стаціонарному режимі середній час перебування заявки в системі виражається через середнє число заявок в системі за допомогою формули Литтла:

. (1.9)

Аналогічна формула (також формула Литтла) пов’язує середній час перебування заявки в черзі і середнє число заявок в черзі :

. (1.10)

Питання для самоконтролю

1. З яких елементів складається СМО?

2. Що є канал СМО?

3. Як працює СМО з відмовами, з очікуванням та змішаного типу?

4. Що є дисципліна обслуговування?

5. Якими можуть бути вхідні потоки заявок?

6. Які властивості має найпростіший потік?

7. Що таке інтенсивність вхідного потоку?

8. Який зміст має параметр показникового розподілу часу обслуговування?

9. Що називають ланцюгом Маркова з дискретною множиною значень та неперервним часом?

10. Який ланцюг Маркова називають однорідним?

11. Як будується система диференціальних рівнянь Колмогорова?

12. Як можна тлумачити фінальні ймовірності?

13. Що таке процес розмноження та загибелі?

14. Що розуміють під ефективністю роботи СМО?

Іі. Смо з відмовами

1. Марковський процес, що описує смо з відмовами

СМО складається з n каналів обслуговування. Починаючи з моменту часу на вхід СМО поступає найпростіший потік заявок з інтенсивністю λ. Якщо є вільні канали, то заявка починає обслуговуватись одним каналом, якщо всі канали зайняті, то заявка отримує відмову в обслуговуванні. Час обслуговування Т має показниковий закон розподілу з параметром μ, причому будемо вважати, що час обслуговування даної заявки не залежить від часу обслуговування інших заявок та від інших заявок, що поступають.

Робота СМО описується випадковим процесом – кількістю зайнятих каналів в момент часу t. Можливими значеннями цього процесу є числа 0, 1, 2, …, n. Значення випадкового процесу в момент часу t залежить від моментів звільнення зайнятих каналів та від моментів надходження нових заявок. Моменти звільнення каналів не залежать від того, що було до моменту t, оскільки закон розподілу часу обслуговування – показниковий. Моменти надходження нових заявок також не залежить від того, що було до моменту часу t, оскільки вхідний потік – найпростіший (має властивість відсутності післядії). Отже, випадковий процес є ланцюгом Маркова з дискретною множиною значень і неперервним часом.

Якщо , тобто в момент часу t зайнято k каналів, то будемо вважати, що система знаходиться в стані . Позначимо через ймовірність того, що в момент часу t система знаходиться в стані , тобто

.

Очевидно, що

.

Позначимо через перехідну ймовірність, тобто ймовірність того, що в момент часу система буде знаходитись в стані , якщо в момент часу вона знаходилась в стані , тобто:

.

Оскільки вхідний потік заявок є однорідним, а час обслуговування заявки не залежить від моменту її надходження, то ланцюг Маркова є однорідним в часі. Отже, всі перехідні ймовірності будуть залежати тільки від довжини проміжку часу:

.

Очевидно, що .

Значення, яке приймає випадковий процес визначається надходженням заявок та звільненням зайнятих каналів.

Позначимо через ймовірність того, що за час поступило r нових заявок:

(ми використали формулу Тейлора для функції ).

Звідси випливає, що

,

,

.

Позначимо через ймовірність того, що за час з k зайнятих каналів звільниться s з них. Оскільки канали обслуговують незалежно один від одного, ймовірність можна знайти з біноміальної формули. Для цього знаходимо ймовірність звільнення за час якого-небудь каналу. Ця ймовірність дорівнює ймовірності того, що час обслуговування цим каналом заявки буде меншим за , тобто

.

З біноміальної формули знаходимо:

.

Звідси випливає, що

,

,

.

Знаходимо тепер перехідні ймовірності . Із стану в стан за час можна перейти наступним чином:

• в систему за час надійшла одна заявка (ймовірність ) і жоден з k каналів не звільнився (ймовірність ) ;

• в систему за час надійшли s (s ≥ 2) заявки (ймовірність ) і s–1 каналів з k каналів звільнилися (ймовірність ) .

Отже ймовірність дорівнює:

.

Із стану в стан за час можна перейти наступним чином:

• в систему за час не надійшла жодна заявка (ймовірність ) і один з k каналів звільнився (ймовірність ) ;

• в систему за час надійшли s (s ≥ 1) заявки (ймовірність ) і s + 1 каналів з k каналів звільнилися (ймовірність ) .

Отже ймовірність дорівнює:

.

Аналогічно знаходимо, що .

Отже, однорідний ланцюг Маркова є процесом розмноження і загибелі. Розмічений граф станів для такого процесу має вигляд:

Використовуючи даний граф та мнемонічне правило, запишемо систему диференціальних рівнянь для :

Ця система називається системою рівнянь Ерланга. Розв’язок цієї системи мусить задовольняти початкову умову, наприклад,

.

та умову нормування .

Використовуючи методи теорії звичайних диференціальних рівнянь, можна показати, що ймовірності мають вигляд:

, (2.1)

де – додатні сталі, що не залежать від початкових умов, – сталі, що залежать від початкових умов.