- •Передмова
- •І. Основні поняття теорії масового обслуговування
- •Поняття системи масового обслуговування
- •Класифікація смо
- •Вхідний потік заявок
- •Час обслуговування
- •Ланцюг Маркова
- •Деякі критерії ефективності роботи смо
- •Іі. Смо з відмовами
- •Марковський процес, що описує смо з відмовами
- •Усталений режим роботи смо з відмовами
- •Ііі. Смо з очікуванням
- •Марковський процес, що описує смо з очікуванням
- •Усталений режим роботи смо з очікуванням
- •Час знаходження заявки в черзі
- •VI. Смо змішаного типу
- •Марковський процес, що описує смо змішаного типу з обмеженням довжини черги
- •Усталений режим роботи смо змішаного типу з обмеженням на довжину черги
- •Час знаходження заявки в черзі
- •Марковський процес, що описує смо змішаного типу з обмеженим часом очікування в черзі
- •4.5 Усталений режим роботи смо змішаного типу з обмеженням часу очікування обслуговування
- •V. Розв’язування типових задач
4.5 Усталений режим роботи смо змішаного типу з обмеженням часу очікування обслуговування
Можна показати, що існують границі:
.
Переходячи до границі при в системі Ерланга, отримуємо нескінченну алгебраїчну систему:
Умова нормування приймає вигляд: .
Розв’язуючи дану систему аналогічно до системи (3.1), отримуємо:
(4.11)
де параметр визначає середнє число заявок, що поступають за середній час обслуговування однієї заявки, а – середнє число заявок, що покидають систему без обслуговування, за середній час обслуговування однієї заявки.
Ймовірність р0 (ймовірність того, що всі канали вільні) знаходимо використовуючи умову нормування:
. (4.12)
Нескінчену суму, що входить до формули (4.12), обчислюють наближено, використовуючи перші декілька доданків. Похибку, яка виникає від відкидання всіх членів нескінченої суми, починаючи з j–того, можна оцінити за формулою:
.
Можна показати, що для розглянутої СМО змішаного типу з обмеженням часу очікування обслуговування, фінальні ймовірності існують завжди, якщо . Це підтверджується тим, що ряд в формулі (4.12) збігається при довільних додатних а і . По суті це означає, що черга не може зростати нескінченно: чим більша довжина черги, тим інтенсивніше заявки покидають систему не дочекавшись обслуговування.
Середню довжину черги можна обчислити як математичне сподівання числа заявок, що знаходяться в черзі:
. (4.13)
Замість нескінченної суми, що входить в праву частину формули (4.13), беруть декілька перших доданків. При цьому допускається похибка, яку можна оцінити за допомогою нерівності:
.
В усталеному режимі роботи СМО ймовірність відмови в обслуговуванні можна підрахувати як відношення середнього числа заявок, що покидають систему без обслуговування за одиницю часу, до середнього числа заявок, що поступають в СМО. Підрахуємо, скільки заявок в середньому покидають систему без обслуговування за одиницю часу. Інтенсивність потоку таких заявок, що припадає на одну заявку з черги, дорівнює ω. Оскільки в черзі в середньому знаходиться заявок, то сумарна інтенсивність потоку уходів заявок дорівнює . Отже,
. (4.14)
Ймовірність обслуговування дорівнює:
. (4.15)
Абсолютна пропускна спроможність СМО:
. (4.16)
Число заявок, що знаходяться на обслуговуванні (число зайнятих каналів) дорівнює:
. (4.17)
Середнє число заявок в СМО дорівнює сумі середнього числа заявок в черзі та середнього числа заявок, що обслуговуються (середнє число зайнятих каналів):
.
За першою формулою Литтла (1.7) можна знайти середній час перебування заявки в системі:
.
Питання для самоконтролю
Як записується система диференціальних рівнянь для ймовірностей станів СМО змішаного типу з обмеженням довжини черги?
Запишіть систему алгебраїчних рівнянь, що описують усталений режим роботи СМО змішаного типу з обмеженням довжини черги.
Який вигляд має розмічений граф станів для СМО змішаного типу з обмеженням довжини черги?
Виведіть основні формули для СМО змішаного типу з обмеженням довжини черги очікуванням в усталеному режимі.
Як працює СМО змішаного типу з обмеженням часу очікування обслуговування?
Виведіть формули для перехідних ймовірностей випадкового процесу, що описує роботу СМО змішаного типу з обмеженням часу очікування обслуговування.
Запишіть систему алгебраїчних рівнянь, що описують усталений режим роботи СМО змішаного типу з обмеженням часу очікування обслуговування.
Виведіть основні формули для СМО змішаного типу з обмеженням часу очікування обслуговування в усталеному режимі.